半导体问题的间断Galerkin有限元方法

论文摘要

自从Gummel于1964年提出用序列迭代法处理这类问题[12]，开创了半导体器件数值模拟的新领域之后，对此类问题的数值方法研究已有很多。不考虑温度影响的情况，主要工作有：Douglas的差分方法[11]，Zlámal的有限元方法[24]，袁益让的混合有限元方法及特征有限元方法（[20]，[21]），等等。但是随着半导体器件的迅速发展，传统的近似方法已不适用，为了避免模拟失真，应考虑热传导对半导体瞬态问题的影响。袁益让[22]从生产实际出发，研究现代三维问题的差分方法。文[19]提出了特征变网格有限元方法。文[14]用交替方向有限元方法将这类问题推广到三维情况。本文用对称内节点罚函数间断Galerkin（简称DG）方法解决这类问题，并给出了复合系统的分析。用间断Galerkin方法对上述问题作数值逼近的原因是，间断Galerkin方法有一些性质在实际应用中是非常有用的。第一，这种方法允许相邻单元近似多项式的次数不同。其次，允许一般的网格剖分，包括非一致网格、有或者无悬点，或对应Mortar元的剖分。此外，存在大坡度时，为了使振荡减至最小我们可以将稳定的后处理用到这一方法中。再次，在本质上，间断Galerkin方法比其它方法更容易实现hp的自适应。最后，间断Galerkin方法具有局部质量守恒，较少的数值扩散，并且能处理变化剧烈的和间断的参数。从科学计算角度来看，间断Galerkin方法比其它有限元方法更容易实现，并且容易构造检验函数和试探函数的空间，因此结果具有很高的精度。间断Galerkin方法适应网格间的跳跃，已经用来解决双曲、抛物和椭圆问题[8]。回顾间断Galerkin理论和间断Galerkin方法在椭圆问题方面的应用。见[2]。有限元p-与hp-格式的近似性质，见文献[3]。文[18]和[9]提出了混溶驱动问题的内节点罚函数间断Galerkin方法的连续时间格式。本文考虑较为一般的网格剖分。用间断Galerkin方法，电子位势的梯度可以直接计算出来，这在实际生产和提高精度方面是非产重要的。为了处理浓度方程中的对流项，我们采用了电子、空穴浓度的迎风格式。在收敛性的证明中，我们先假设其它问题的误差已知，从而可以逐一考虑单个方程。最后综合所有结果求得复合系统的误差。为了简便起见，我们考虑相同的网格剖分。但电子、空穴浓度和温度问题近似多项式的次数γ2，γ3，γ4与电子位势问题近似多项式的次数γ1是不同的。为了保持复合系统的DG收敛，要求电子位势问题与电子、空穴浓度问题近似多项式的次数是同阶的。即γ1／γ2，γ1／γ3，γ2／γ1与γ3／γ1是有界的。本文主要内容如下：本文第一章首先介绍了半导体问题的模型，一些记号，连续时间数值格式，接着给出了间断Galerkin格式的一些性质，最后得出复合系统的误差。第二章，在对电子位势方程进行时间离散时，利用了线性外推，并且在证明过程中作了归纳假定，最后给出了复合系统全离散格式的误差。文中，C表示一般的正常数且不依赖于h、r，e表示一个普通的小正数，它们在不同之处有不同的含义。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 半导体问题的间断Galerkin方法的半离散格式及误差分析
• §1.1 引言
• §1.2 一些记号
• §1.3 连续时间数值格式
• §1.4 间断Galerkin格式的性质
• §1.5 半导体问题间断Galerkin连续时间格式的误差分析
• 第二章 半导体问题间断Galerkin方法的全离散格式及误差分析
• §2.1 全离散格式
• §2.2 全离散格式的误差分析
• 参考文献
• 致谢
• 学位论文评阅及答辩情况表