论文摘要
本论文讨论粗糙集理论和粗糙函数模型的若干相关问题。主要研究内容包括:粗糙函数模型基本理论的深化和推广,粗糙函数模型中粗糙隶属函数及其性质讨论,粗糙函数模型中粗柯西数列的若干数学特性,以及离散函数的粗连续性讨论,粗糙函数模型中粗微积分及其应用,等等。第一章是对粗糙集相关理论的简要综述。主要介绍了粗糙集提出的背景与发展概况,粗糙集理论的研究领域与现状,以及粗糙集理论的基本概念。第二章深化和推广了基于粗糙集理论的粗糙函数模型。Pawlak的粗糙函数模型未给出任一实数在实轴和标度两种度量下的离散化形式,其中粗糙函数的定义未能反映出粗糙函数定义和取值于整数集的显著特征。从数学的角度来看,这种定义是不严格的;从应用的角度来看,这种定义形式下的粗糙函数是不适于计算机及粗糙控制等方面的应用的。本章对Pawlak粗糙函数模型的基本概念进行改进,第二节提出标度上（下）近似,实轴上（下）近似两对近似算子的概念,并分析二者的性质及其对偶特性,给出标度双射定理及相关命题和结论。第三节以不可分辨关系为出发点,将两对近似算子推广到二维平面,建立新的实轴-标度粗糙函数模型（RL-S粗糙函数模型）。第三章对粗糙函数模型中的粗糙区间与粗糙隶属函数及其性质展开讨论。在实轴-标度粗糙函数模型（RL-S粗糙函数模型）的理论框架下,第二节定义了粗糙函数模型中的粗糙数、粗糙区间等概念,通过分析得出粗糙区间类似于粗糙集的一系列运算性质。第三节讨论了粗糙隶属函数及其性质并利用粗糙隶属函数给出粗糙区间另一种形式的等价定义。利用实数域上的上下近似算子及粗糙隶属函数两种工具,第四节分别定义粗糙区间的粗包含与粗相等关系,并分析其诸多性质。提出两个定理说明了粗糙区间的粗包含与粗相等的两种定义形式在考虑粗糙区间边界信息的附加条件下是等价的。第四章讨论粗糙函数模型中粗柯西数列的若干数学特性。粗糙函数模型基于对应某一标度的不可分辨关系,将实数轴划分成由点及开区间构成的等价类,即将实轴离散化。离散化后的实轴上也存在数列这一概念,那么实轴的离散化对数列的影响是什么,离散化后实轴上的数列又有什么相同和不同的性质?这些问题在Z.Pawlak的粗糙函数模型中并未涉及。针对以上问题,本章第二节定义并讨论实轴离散化后,粗柯西数列的收敛性。给出实数轴离散化后与收敛数列极限唯一性定理截然相反的性质,即提出粗收敛数列粗极限的不唯一性定理。讨论了收敛与粗收敛、发散与粗发散的逻辑关系,并对相关结论的直观意义予以说明。第三节定义了粗有界性等概念,分析了有界性与粗有界性的关系。分别提出粗收敛的必要条件和充分条件。第四节给出离散化数轴上粗柯西数列与其子列的关系定理及其推论,并以不可分辨关系为出发点对相应例子加以说明。第五章研究粗糙函数模型中的粗连续离散函数及其性质。对于定义和取值于实数轴的一般实函数,其中一类重要的函数就是连续函数,而在粗糙函数模型中,粗糙连续性也是其中离散函数的一个首要性质。关于离散函数的粗糙连续性,Pawlak仅给出其定义和以充要条件的形式给出粗连续函数的介值定理,并未加证明。而其他少有的相关文献也未对该理论进行探讨。关于粗糙函数模型及粗糙连续性等相关理论和应用的完善是一个亟待解决的问题。事实上,Pawlak给出的粗糙连续性定义与实函数的连续性定义是没有可比性的,而Pawlak改进后的介值定理中的充要条件是不满足的,即只成立粗连续的必要条件,充分条件不成立。为此我们提出以下问题:Pawlak粗糙连续性与实函数的连续性有何关系?它满足什么运算性质?闭区间上连续实函数的性质定理对粗糙连续离散函数是否成立,如何证明?粗糙函数模型中的离散函数是否也存在不动点的相关概念和理论?等等。本章针对以上问题展开讨论。第二节以与经典连续的ε-δ定义相类似的形式给出离散函数粗连续的概念,并且证明了粗糙连续性的ε-δ定义与Pawlak粗糙连续性的另两种定义是一致的。第三节讨论粗连续函数的取大,取小,取余等一系列运算性质。第四节将闭区间上连续函数的性质加以推广,给出闭区间上离散函数的最值定理,有界性定理及新的介值定理。以反例的形式说明了Pawlak介值定理的充分性不成立。提出与粗糙连续性密切相关的连通函数的概念,以此为工具对新介值定理作出严格的证明。第五节提出离散函数的粗不动点的概念,给出粗糙连续函数的粗不动点定理,并做了一定探讨。第六章对粗糙函数模型中的粗微积分及其应用问题展开讨论。本章的具体工作如下。关于粗糙函数模型中离散函数的粗导数,Pawlak提出粗导数的定义,给出两个离散函数四则运算的粗导数法则和高阶粗导数公式,并指出对于一般的离散函数,不成立费马定理和罗尔定理.在Pawlak给出的粗导数理论框架下,第六章第二节对这一部分内容作了改进和发展,第二节第一小节分析粗导函数及高阶粗导函数的函数特征,指出Pawlak给出的高阶粗导数定义的不完善之处,提出广义粗糙函数的概念,对原高阶粗导数定义进行改进,Pawlak只给出粗导数的四则运算公式及高阶粗导数公式的结论,未作证明,而其它少有的文献只是对粗导数的四则运算公式做出证明。本小节利用数值分析差分原理中单位映射和恒等映射的概念,对高阶粗导数公式做出证明,事实上,费马定理和罗尔定理即使对于粗连续的离散函数也是不成立的。为完善粗糙函数模型中粗导数应用的理论基础,第二节第二小节给出离散函数粗极值的概念,提出并证明了粗光滑离散函数的费马定理和罗尔定理,第二节第三小节定义离散函数的粗单调性和粗凹凸性的概念,通过与连续实函数导数的应用相对比,提出粗导数与粗单调性的关系定理,粗极值的两个充分条件,粗导数与粗凹凸性的两个关系定理,同时得到离散函数粗光滑的充分条件等一些新的结果。关于粗糙函数模型中离散函数的粗积分,Pawlak未作深入探讨,仅提出离散函数粗积分的定义,由定义推出一个命题和一个递推公式,即以给其他学者提出继续研讨的建议而结束了这一课题的研究,实际上,在Pawlak给出的粗积分定义中,粗积分上限是变动的,所以并非一般意义的粗积分,而是由变上限积分推广而来的变上限的粗积分,第六章第三节对Pawlak提出的粗积分定义进行改进,在第三节第一小节分别给出常数区间上的粗积分定义和粗积分上限函数等新概念,与一般实函数的定积分相对比,第三节第二小节分析粗积分的性质,给出离散函数平均值的概念,得到粗积分计算的平均值法,提出粗积分中值定理,并分析其几何意义,第三节第三小节提出粗原函数存在定理,粗微积分基本公式等结论,给出由离散函数表达式求原函数的方法,由此推导出常用粗积分基本公式,给出粗积分计算的直接粗积分法,粗积分的计算有类似定积分计算的分部粗积分法,由此推导出被积函数形如粗幂函数和粗指数函数之积的粗积分递推公式,最后指出粗积分不适用换元法求解,分析原因并举例说明。第七章总结了本论文的主要创新点及结论,并对与本论文的研究密切相关的后续工作进行展望,明确了今后研究工作的思路和方向。