论文摘要
L-函数在中心点s=1/2处如何取值在很多研究方向中都是很深刻的研究课题,有重要的应用,譬如实的Dirichlet特征产生的Dirichlet L-函数在s=1/2是正的,这一事实可以推出虚二次域的类数的非常好的下界.从Hecke L-函数在中心点有好的正的下界就能证明Landau-Siegel零点不存在.除此之外,一些特定的Rankin-Selberg L-函数的非零结果对研究广义Ramanujan猜想有重要的作用（参见[32]）.2005年,Ramakrishnan和Rogawski [34]用相对迹公式得到了两类L-函数在中心点同时不为零的结果.他们证明了存在无穷多个N>0使得L（1/2,（?）×X）L（1/2,（?））≠0,这里（?）是群r0（N）上权为κ的新形式,X是一个Dirichlet特征.此外,对单个的L-函数,有很多更强的非零的结果,可参见[1],[2],[18],[23],[24],[25],[31],[35].最近,Li[29]考虑了一个GL（3）×GL（2）上的Rankin-Selberg L-函数和一个GL（2）上的L-函数在1/2处同时非零的问题,证明了存在无穷多个这样的L-函数,使得它们在1/2同时不为零.在本文中,我们考虑两类自守L-函数的乘积在1/2处的加权离散均值,这两类L-函数分别是GL（2）×GL（2）上的Rankin-Selberg L-函数和GL（2）上的Maass L-函数.首先,我们假设{uj}是SL（2,z）上的偶的Hecke-Maass形式的一组标准正交基.uj（z）有傅里叶展开我们假设是正规化的L-函数（RS>1）,它满足函数方程.假设g（z）是SL（2,Z）上权为κ的全纯Hecke eigenform,并且设λg（n）是正规化的傅里叶系数.定义Rankin-Selberg L-函数（RS>1）那么它是全纯的,而且也满足相应的函数方程.考虑L（1/2,g×uj）L（1/2,uj）关于j的加权和,我们将要证明如下结果.定理1.1.假设g（z）是SL（2,Z）上权为κ的全纯Hecke eigenform,{uj}是SL（2,Z）上偶的Hecke-Maass形式的一组标准正交基,且{uj}关于拉普拉斯算子的特征值是1/4+tj2.那么对于任意ε>0和T1/3+ε≤M≤T1/2,我们有其中∑’表示只对偶的Hecke-Maass形式的标准正交基求和,且（0.3）中的主项应该与[29]中定理1.1的主项比较,我们定理中的log T是在平移积分路径时经过的二阶极点时所得到的.定理的证明将借鉴Li[29]中的方法.首先我们由函数方程得到渐近函数方程,然后应用Kuznetsov迹公式将求和转化为含有Kloosterman sum的求和.我们展开Kloosterman sum,然后用Poisson求和公式和Voronoi求和公式,在这一过程中我们将两次应用stationary phase方法.应用定理1.1及[10]和[7]中的结果,我们将证明定理1.2.在定理1.1的假设下,存在无穷多个uj,使得上述结果说明了L（s,g×uj）和L（s,uj）可以在关键点s=1/2处同时不为零无限多次.此外,我们还将证明下面的结果.定理1.3.我们有注意L（1/2,g×uj）L（1/2,uj）的凸形上界是《（1+|uj|）3/2+ε,所以上述结果中的上界是这两类L-函数乘积的一个亚凸界.对于L（1/2,uj）,目前最好的亚凸界是这个上界最初由Iwaniec[14]在适当的假设下给出证明,此后又被Ivic[13]和Jutila[21]无条件证明.对于L（1/2,g×uj）,现在最好的亚凸界是由Lau-Liu-Ye[28]得到的：我们把L（s, uj）和L（s, g×uj）的analytic conductor分别记作C（uj）和C（g×uj）.那么,根据Iwaniec-Sarnak [19],我们有所以,（0.6）和（0.7）的结果相当于黎曼zeta函数的Weyl上界的结果,从而相当于C（uj）1/6+ε和C（g×uj）1/6+ε.本文的目的不在于改进上述两个Weyl上界,而是用定理1.1及[28]和[21]的结果,进一步证明L（1/2,g×uj）和L（1/2,uj）同时非零的如下结论.定理1.4.在定理1.1的假设下,我们有注意我们有下面的Weylaw：其中c是一个常数.由此可以看出（0.8）中的下界并不是最优下界,最优下界应是T2.
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