广义生灭过程的对偶理论及相应的算子半群

论文摘要

关于Markov过程理论的研究，众多数学家们已得到了一系列完善的普遍性理论。本文着力于将这些现有的结论应用到具体的q—矩阵——广义生灭矩阵Q上去，得到广义生灭矩阵Q在一些性质上具体的数字刻画，并籍此讨论了广义生灭矩阵Q的最小Q—函数的性质。进一步地，我们求出了广义生灭矩阵的对偶q—矩阵Q*，除了讨论Q*及最小Q*—函数的一些性质外，我们还考虑了最小Q—函数与最小Q*—函数之间可能存在的联系。最后，结合线性算子半群理论，我们讨论了两类由广义生灭矩阵Q演绎而得的算子半群。为叙述简便起见，本文至此将广义生灭矩阵Q简称为Q，广义生灭矩阵的对偶q—矩阵Q*简称为Q*。我们在第二章中主要讨论了Q的一些具体性质，如单调性、对偶性、FRR性并得到如下结果：命题2．1．1 Q是单调的当且仅当{γn}n=1∞为单调递减数列。命题2．1．2 Q是对偶的当且仅当{γn}n=1∞为单调递减数列。命题2．1．3 Q是FRR的当且仅当（?）γn=0。我们还证明了Q零入等价于Q强零入。这是个较好的结论，因为对于一般的q—矩阵而言，它在l∞内零出等价于它在l∞+内零出，故可统称为零出；但它在l1+内零入不一定就能保证它在l1内也是零入的，即一个q—矩阵是零入的，但它可能不是强零入的。广义生灭矩阵Q在这方面则具备了较好的性质，由此我们结合Q强零入和零出的数字刻画，得出了最小Q—函数单调性、对偶性、FRR性的数字刻画。以下是第二章的主要结果：命题2．1．5 Q零入等价于Q强零入。命题2．1．7设μn＞0，n=1，2，…，且{γn}n=1∞为有界数列，则Q是强零入的当且仅当S=+∞。其中，S=（?）。命题2．1．8设λn＞0，n=1，2，...，则Q是零出的当且仅当R=+∞或R=+∞。其中，R=（?）。定理2．2．2 Q的最小Q—函数是单调的当且仅当{γn}n=1∞单调递减且R=+∞。定理2．2．3 Q的最小Q—函数是某单调q—函数的对偶当且仅当（1）{γn}n=1∞单调递减且（2）（a）（?）=0，S=+∞或（b）R＜+∞。定理2．2．4设{γn}n=1∞单调递减，则Q的最小Q—函数是FRR的当且仅当S=+∞或R＜+∞我们在第三章中求出了广义生灭矩阵Q的对偶q—矩阵Q*，讨论了Q*的一些基本性质。我们发现在某些性质上，Q*的结论逊于Q的，如保守性；在某些性质上，Q*的结论则较Q的要好，如对偶性、FRR性；而在关于强零入，零出的数字刻画方面，二者的结论存在着巧妙而整齐的联系：命题3．1．1 Q*是保守的当且仅当（?）γn=0。命题3．1．2 Q*是对偶的。命题3．1．3 Q*是单调的当且仅当Q*是保守的。命题3．1．4 Q*是FRR的。命题3．1．5 Q*零入等价于Q*强零入。命题3．1．6设λ＞0，n=1，2，...，且{γn}n=1∞为有界数列，则Q*是强零入的当且仅当R=+∞。命题3．1．7设μn＞0，n=1，2，...，且{γn}n=1∞为有界数列，则Q*是零出的当且仅当S=+∞。显然，当{γn}n=1∞有界时，Q*强零入等价于Q零出，Q*零出等价于Q强零入。此外，我们还讨论了最小Q*—函数的一些基本性质：定理3．1．10 Q*的最小Q*—函数是单调的当且仅当（?）=0且S=+∞。定理3．1．11当（?）γn=0时，Q*的最小Q*—函数是FRR的当且仅当R=+∞或S＜+∞。最后，我们发现在一定条件下，最小Q—函数与最小Q*—函数存在如下联系：定理3．1．12当{γn}n=1∞单调递减趋于0且R=+∞时，最小Q—函数的对偶是最小Q*—函数。我们在第四章中分别探讨了由Q定义而得的两个算子Qo、（?）在c0、l1空间上生成正压缩C0半群的充要条件，同时也以线性算子半群理论为工具讨论了最小Q—函数的FRR性。我们得到如下主要结论：定理4．1．1设{γn}n=1∞为递减数列，则下述（a）（b）（c）相互等价：（a）Q0在c0上生成正压缩C0半群；（b）最小Q—函数是FRR转移函数；（c）S=+∞或R＜+∞。定理4．1．6下述（a）（b）（c）相互等价：（a）（?）在l1上生成正压缩C0半群；（b）算子I-Q在l∞上是单射，其中Q是l∞上具有最大化定义域的算子；（c）（ⅰ）存在{λn}的某子列{λnk}有λnk=0或（ⅱ）m=sup{n：λn=0}＜+∞，则R1=+∞或R2=+∞。其中，

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 引言和预备知识
• 1.1 文献综述
• 1.2 引言
• 1.3 预备知识
• 第2章 广义生灭矩阵及其最小Q-函数的性质
• 2.1 广义生灭矩阵的基本性质
• 2.2 广义生灭矩阵的最小Q-函数的基本性质
• 第3章 广义生灭矩阵的对偶q-矩阵
• *及最小Q^*-函数'>3.1 广义生灭矩阵的对偶q-矩阵Q^*及最小Q^*-函数
• 第4章 广义生灭矩阵演绎出的算子半群
• 0及l₁空间上生成正压缩C₀半群的充要条件'>4.1 广义生灭矩阵在c₀及l₁空间上生成正压缩C₀半群的充要条件
• 第5章 进一步的问题
• 参考文献（References）
• 致谢
• 发表论文及参加课题一览表