锥约束变分不等式问题的数值方法的研究

论文摘要

变分不等式问题在运筹学、计算机科学、系统科学、工程技术、交通、经济与管理等许多方面有广泛应用。在二十世纪最后20年里,它受到许多学者的特别关注。另外,锥约束优化,尤其半定规划和二阶锥规划也是目前最优化领域的研究热点之一,而锥约束变分不等式的研究还很初步.本论文主要研究了锥约束变分不等式问题的数值方法的收敛性,包括求解二阶锥约束变分不等式的半光滑Newton方法与光滑函数方法,以及Hilbert空间中的变分不等式的迫近点算法的收敛性.本论文所阐述的主要研究结果可概括如下:1.第二章主要研究二阶锥约束变分不等式的半光滑Newton方法,运用Fischer-Burmeister函数将二阶锥约束变分不等式的Karush-Kuhn-Tucker条件转化为非光滑方程组问题ΦFB=0,并给出了映射ΦFB的Clark广义微分（?）ΦFB的表达式。在一定条件下证明了该广义微分的非奇异性。提出采用Armijo线搜索的求解该非光滑方程组的修正牛顿法,证明了该算法的全局收敛性和局部超线性收敛性。最后给出数值例子验证了算法的有效性。2.第三章主要用光滑化方法求解二阶锥约束变分不等式。运用光滑化的Fischer-Burmeister函数将二阶锥约束变分不等式的Karush-Kuhn-Tucker条件转化为光滑方程组问题E=0.在一定条件下,证明了映射E的Jacobin矩阵JE的非奇异性。运用光滑的牛顿算法求解该光滑方程组问题,证明了算法的全局收敛性。最后给出数值例子验证了算法的有效性。3.第四章主要研究了基于预解算子理论的一般变分不等式的求解方法。我们引入了Hilbert空间中一类新的单调算子,即M-单调算子,建立了一般变分不等式和一个不动点问题的等价性。为了求解该不动点问题,本文提出了一个迫近点算法。在一定条件下证明了该迫近点算法的全局收敛性。而后,将上述理论应用到半定矩阵空间中的变分不等式的求解。为了保证算法的可行性,还另外给出了求解不动点问题的沂似解方法。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 变分不等式问题的背景和研究现状
• 1.2 二阶锥约束变分不等式问题
• 1.3 Hilbert空间中一般变分不等式问题
• 1.4 本文内容介绍
• 2 二阶锥约束变分不等式问题的半光滑Newton法
• 2.1 引言
• 2.2 基本概念和预备知识
• 2.3 二阶锥约束变分不等式KKT条件的转化形式
• 2.3.1 二阶锥约束变分不等式KKT条件
• FB的微分形式'>2.3.2 φFB的微分形式
• 2.3.3 非奇异性定理
• 2.4 修正牛顿算法和收敛性定理
• 2.5 数值实验结果
• 2.6 本章小结
• 3 二阶锥约束变分不等式问题的光滑函数方法
• 3.1 引言
• 3.2 KKT条件的等价形式
• 3.3 非奇异性定理
• 3.4 光滑牛顿算法及收敛定理
• 3.5 数值实验结果
• 3.6 本章小结
• 4 基于预解算子的求解Hilbert空间中变分不等式方法
• 4.1 基本概念和预备知识
• 4.2 M-单调算子
• 4.3 算法和收敛性
• 4.3.1 迫近点算法及收敛定理
• k南的性质'>4.3.2 非精确解wk南的性质
• CkTM的不动点的近似解'>4.3.3 JCkTM的不动点的近似解
• 4.4 数值实验结果
• 4.5 本章小结
• 结论与展望
• 参考文献
• 攻读博士学位期间学术论文完成情况
• 论文创新点摘要
• 致谢
• 作者简介