非对易torus上的新孤子解

论文摘要

时空坐标非对易的思想已经有很久了,但是长期以来,非对易几何在物理上并未受到人们的重视。近几年,随着对量子霍尔效应和弦理论的研究,越来越多的非对易背景上的物理学问题引起人们的重视。自从弦理论与非对易场论之间的关系被揭示以后,对非对易场中的一些物理学问题及孤子解的研究引起了理论物理学家的广泛关注。非对易场和弦理论中的孤子解经常对弦理论的非微扰和强耦合行为的研究提供重要线索,因此研究各种非对易空间的孤子解就显的很重要。 本文我们首先运用H.Bacy的方法,用相空间面积为A（整数）的一般格点上的平移态组成完备态集合{|φmnj>},讨论了一个任意态按照这组完备态集合展开的展开系数及其正交归一条件。推广了J.V.Neumann关于用复平面上单位方格点的相干态构成完备态集合的结果（他们的结果相当于A=1的情形）。在研究非对易环（torus）上的算符时,用{|φmnj>}作基矢是特别方便的。这些基矢对于研究非对易环的旋转及非对易场论中的孤子解都有意义。 其次运用Gopakumar、Minwalla和Strominger（GMS）发现的在非对易场论中投影算子能构成孤子解的想法,及（GMS）方法,得到了非对易可积torus（环）上的新孤子解。具体过程是利用非对易可积torus（环）上的算子都有约化矩阵这一特点,孤子解的求解问题可以化为求满足代数方程Q（M）=0的有限维矩阵解问题。求解过程分为两部分,首先我们简单介绍（A）当约化矩阵M可以对角化时的情形,此时torus上的孤子解是以Q（z）=0的根为对角元的对角矩阵的相似矩阵构成（已在文献[24][25][33]中讨论过了）。然后着重讨论了（B）当约化矩阵M不可对角化时的情形。当约化矩阵M不可对角化时,根据线形代数的一般理论,这时约化矩阵M与一个约当矩阵J相似,即M=S-1JS,其中S是关于k,q0的任意可逆矩阵。我们可以推出Q（M）=S-1Q（J）S=0,通过求解方程Q（J）=0（?）Q（Ji）=0,可以求得一系列的约当矩阵块Js。用这些约当矩阵块可求得矩阵M,及相应的算子（?）,它就是可积非对易torus上的新孤子解。同时,我们也给出了多项式Q应满足的条件。我们可以将此结果推广到其它非对易空间,比如非对易orbifold上。

论文目录

• 第一章 引言
• 第二章 非对易时空的概念
• §2.1 非对易时空的概念和非对易几何
• n'>§2.2 非对易空间Rⁿ
• 第三章 非对易空间平移算符及其正交归一完备态集合
• §3.1 非对易空间的平移算符
• §3.2 kq表象的介绍
• §3.3 由平移算符构成的完备态集合
• mn〉}展开的展开系数'>§3.4 任意态矢量|ψ〉按照完备集{|φ_mn〉}展开的展开系数
• mn〉}的正交归一条件'>§3.5 完备态集合{|φ_mn〉}的正交归一条件
• §3.6 讨论
• 第四章 非对易torus上的孤子解
• §4.1 θ趋于无限时非对易场中的孤子解
• §4.2 约化矩阵M可以对角化时torus上的孤子解
• §4.3 约化矩阵M不可以对角化时torus上的孤子解
• §4.4 讨论
• 第五章 公式的证明
• 参考文献
• 发表文章及预印本
• 致谢