非线性系统的几种数学研究方法

论文摘要

孤立子理论是一门涉及多学科、多领域的前沿学科,它的研究手段和方法涉及微分方程和动力系统、经典分析和泛函分析、Lie群及Lie代数、复分析、拓扑学、椭圆函数等学科理论.目前,在孤立子理论中,求解非线性微分方程有如下方法:反散射法、齐次平衡法、Jacobi椭圆函数法、双线性方法、Backlund变换法、Darboux变换法等等.本文主要内容是利用Jacobi椭圆函数法求解孤立子方程Jaulent-Miodek方程组、利用达布变换求解广义Mkdv方程组、双线性化方法分别求解孤立子方程Caudrey-Dodd-Gibbon-Kaeada（CDGK）方程与（2+1）维Boussinesq-Burgers方程.第一章主要介绍了本文所涉及的发展历史、近期理论研究特点、三种数学计算方法及本论文的选题和主要工作.第二章提出了推广的Jacobi椭圆函数展开法,它应用范围广泛,不仅能用来构造非线性发展方程或耦合非线性发展方程组的周期波解,在某些情况下还可求出相应的孤立波解及周期解.以求解孤立子方程的Jaulent-Miodek方程组为例来详细演示推广的Jacobi椭圆函数展开法.第三章介绍了N次达布变换方法构造方程精确解,本文构造了Jaulent-Miodek方程组的N次达布变换,并获得其精确孤子解.第四章研究Hirota双线性方法,同时又深入探讨了将非线性偏微分方程转化为双线性方程的常用变换方法:有理变换、双对数变换.并分别以用有理变换求Caudrey-Dodd-Gibbon-Kaeada方程、双对数变换求解（2+1）维Boussinesq-Burgers方程精确解为例来具体说明.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 引言
• 1.1 孤子方程的发展历程及其研究特点
• 1.2 几种数学研究方法
• 1.3 本文选题及主要工作
• 2 推广的Jacobi 椭圆函数展开法
• 2.1 方法概述
• 2.2 推广的Jacobi 椭圆函数法求解Jaulent-Miodek 方程组
• 3 N 次Darboux 变换方法与多孤立波解
• 3.1 构造广义Mkdv 方程组的N 次Darboux 变换
• 3.2 广义Mkdv 方程组的N 孤子解
• 4 Hirota 方法在非线性发展方程中的应用
• 4.1 一种新的微分算子D-算子的性质
• 4.2 Hirota 方法在孤子方程中的应用
• 4.2.1 运用有理变换法求解Caudrey-Dodd-Gibbon-Kaeada（CDGK）方程
• 4.2.2 运用双对数变换法求解（2+1）维Boussinesq-Burgers 方程
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表学术论文情况
• 致谢