磁Schr（?）dinger方程解的零点集以及Landau-de Gennes泛函极小的部分正则性

论文摘要

液晶和超导的技术在现代物理中有着广泛的运用.以超导为例,它可以用于能源、医疗、信息、国防等诸多方面.在现实生活中,最常见的液晶是作为传递信息的工具——液晶显示,它提供了人与机器对话的平台.相信在未来的时问里,液晶和超导的研究仍然是物理学家和数学家所关注的焦点.在超导的数学理论研究中,我们考虑磁Schrodinger方程：在Ω中,其解ψ的结点集N（ψ）的情况.在超导物理学中,N（ψ）被称为涡旋集.在该点处超导体有磁场穿过,失去超导性.对N（ψ）的研究有助于了解涡旋集的性质.众所周知,有关结点集N（ψ）的研究难点主要集中在临界集S（ψ）上面.故首先,在边界条件：VAψ·v=0下,我们对磁Schrodinger方程解的临界集建立了整体的1维Hausdorff测度估计.这与之前有关临界集的Hausdorff测度研究的情形有所不同.在我们的问题中,方程解是复函数而非实函数；其二,我们考虑的方程是带有磁Schrodinger算子；第三,我们能将估计做到整个区域上,而非局部的估计.其次,我们来研究N（ψ）的情况.由于ψ是复值函数,故N（ψ）的几何结构往往很复杂,可能为孤立点、曲线、甚至曲面.面对此问题,我们选择对ψ附加了“拟共形映射”的条件.证明了在该条件下,ψ的结点集N（ψ）是1维可数可求长的,并且其1维Hausdorff测度是有界的.为了能获得有关结点集的更多信息,下面我们从拓扑的角度来研究方程解的复杂性.即考虑结点集的拓扑性质——Betti数J. Milnor（[53]）曾对多项式结点集的Betti数总和给出了一个上界估计.而对于一般的二阶椭圆型方程的情况,目前尚无结果.我们证明了对一般的二阶椭圆方程的解u,其结点集N（u）的Betti数总和是有界的.通过Betti数的研究,本质地揭示了结点集的几何特征,也使我们对结点集的几何结构有进一步的了解.在液晶的数学理论研究中.Landau-de Gennes模型是描述液晶相变过程的重要模型之一.这里我们主要考虑Landau-de Gennes泛函的一个简化形式：建立了非平凡极小元（Ψ,n）的部分正则性结果,即在Ω中除去一个1维Hausdorff测度为0的相对闭集之后,（Ψ,n）是解析的.它的研究与Oseen-Frank泛函的情形不同：其一,我们研究的Landau-de Gennes泛函是两个变量的泛函,并且我们将序参数Ψ视为一个独立于向量场n的变量.另外,我们研究的泛函中包含了与Oseen-Frank泛函不同的能量项,因此,它将给的定理的证明带来一定的复杂性.通过部分正则性的研究,使我们对液晶的物理性质有了更加深入的了解.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• 第一章 引言
• 第二章 磁Schrodinger方程解的零点集
• 2.1 磁Schrodinger方程解的临界集的Hausdorff测度估计
• 2.1.1 问题的提出
• 2.1.2 ψ的一些性质定理
• 2.1.3 S（ψ）的局部Hausdorff测度估计
• 2.1.4 在Neumann边界条件下的整体Hausdorff测度估计
• 2.1.5 定理2.1的证明
• 2.2 磁Schrodinger方程解的结点集的Hausdorff测度估计
• 2.2.1 问题的提出
• 2.2.2 ψ的性质定理与N（ψ）的几何结构
• 2.2.3 定理2.11的证明
• 2.3 二阶椭圆型方程解的结点集的Betti数估计
• 2.3.1 问题的提出
• 2.3.2 有用的引理
• 2.3.3 稳定性结果
• 2.3.4 定理2.15的证明
• 第三章 Landau—de Gennes泛函极小的部分正则性
• 3.1 问题的提出
• 3.2 准备工作
• 3.2.1 Euler-Lagrange方程
• 3.2.2 尺度变化下的极小元
• 3.3 极小元（Ψ,n）的部分正则性
• 3.3.1 blow-up序列及blow-up方程
• 3.3.2 能量不等式
• 3.3.3 定理3.1的证明
• 第四章 总结与展望
• 发表文章目录
• 参考文献
• 致谢