抛物型变分不等式问题的区域分解方法研究

论文摘要

区域分解法是一种求解偏微分方程的高效数值方法，具有优良的并行性，它基于“分而治之”的思想，将复杂或大型的区域分解成若干子区域，使得原问题的求解转化为在其子区域上求解。目前用于求解变分不等式的区域分解法主要局限于椭圆型变分不等式，抛物型变分不等式的区域分解法还不多见，论文针对抛物型变分不等式问题的区域分解法进行了研究。首先，介绍了变分不等式以及变分不等式的区域分解法的研究进展和发展现状，给出了变分不等式的相关理论知识以及区域分解法的一些算法，并分析了本课题的研究意义。其次，以具有实际应用背景的时间依赖摩擦问题作为研究对象，研究了与之等价的第二类抛物型变分不等式问题的区域分解方法，对含有时间的导数项采用半离散和隐格式方法，将抛物型变分不等式转化为椭圆型变分不等式，对不容易计算的不可微项采用数值积分近似，使得计算简化，针对与椭圆型变分不等式等价的优化问题给出了区域分解算法并进行了收敛性分析，给出数值算例验证了该方法可行且有效。然后，对一类第一类抛物型变分不等式问题构造了区域分解算法进行数值求解，并对相应的算法进行了收敛性证明，同样也结合数值算例验证了该方法可行且有效。最后，将区域分解法推广到求解一类具有障碍约束的四阶抛物型变分不等式问题，对这类抛物型变分不等式构造了区域分解算法，并通过数值算例验证了该方法的可行性。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 变分不等式的发展历史和研究现状
• 1.2 变分不等式的区域分解法发展历史和研究现状
• 1.3 课题来源及研究意义
• 第2章 理论基础
• 2.1 椭圆型变分不等式
• 2.1.1 第一类椭圆型变分不等式
• 2.1.2 第二类椭圆型变分不等式
• 2.2 有限元方法
• 2.2.1 有限元空间
• 2.2.2 变分不等式的有限元离散
• 2.3 区域分解法
• 2.3.1 区域分解法概述
• 2.3.2 经典 Schwarz 交替法及其变形
• 2.3.3 变分不等式的并行 Schwarz 算法
• 2.4 本章小结
• 第3章 一类时间依赖摩擦问题的区域分解法及其收敛性分析
• 3.1 时间依赖摩擦问题
• 3.2 有限元离散和不可微项的处理
• 3.3 区域分解算法
• 3.4 收敛性分析
• 3.5 数值算例
• 3.6 本章小结
• 第4章 一类二阶抛物型变分不等式问题的区域分解法及其收敛性分析
• 4.1 二阶抛物型变分不等式问题
• 4.2 有限元离散
• 4.3 区域分解算法
• 4.4 收敛性证明
• 4.5 数值算例
• 4.6 本章小结
• 第5章 一类四阶抛物型变分不等式问题的区域分解法求解
• 5.1 四阶抛物型变分不等式问题
• 5.2 有限元离散
• 5.3 区域分解算法
• 5.4 数值算例
• 5.5 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间承担的科研任务与主要成果
• 致谢
• 作者简介