一类四阶非线性波动方程的初值问题

论文摘要

本文研究如下的初值问题：和其中α1，α2，α3，c1，c2＞0为常数，ν（x，t）为未知函数，f（s）为给定的非线性函数，ν0（x）和ν1（x）为给定的初值函数，下标x和t分别表示对x和t求偏导数．方程（1）是一非线性波动方程，它是在研究弹性杆中的非线性波时提出的模型．在研究非线性弹性杆中的应变弧波时提出了方程（3）．作变量代换x=α31／2y，t=t，（4）可将初值问题（1），（2）化为作变量代换x=c21／2y，t=t，（7）可将初值问题（3），（2）化为所以本文只研究初值问题（5），（6）和初值问题（8），（6）的整体广义解和整体古典解的存在性，唯一性以及解的爆破，因为通过代换（4）和（7）分别可得到问题（1），（2）的结果和问题（3），（2）的结果．本文分四章：第一章为引言；第二章研究四阶非线性波动方程初值问题（5），（6）的局部广义解，局部古典解，整体广义解和整体古典解的存在性和唯一性；第三章研究此初值问题（5），（6）解的爆破；第四章研究问题（8），（6）的整体广义解，整体古典解和解的爆破．主要结果如下：定理1假定则问题（5），（6）有唯一局部广义解u（x，t）∈C（[0，T0）；H3（R）)，其中[0，T0)是解存在的最大时间区间．定理2假定（3）其中A，B＞0，1≤ρ≤∞，其中则问题（5），（6）有唯一整体广义解u（x，t）∈C（[0，∞）；Hs（R）)．注1在定理2的条件下，若s＞5／2，则问题（5），（6）存在整体古典解u（x，t）∈C2（[0，∞）；C2（R）)．定理3假设φ（s）∈C（R），u0（x）∈H1（R），u1（x）∈H1（R），ψ（s）∈L1且存在γ＞0满足不等式sφ（s）≤（3+4γ）ψ（s），（?）s∈R，则问题（5），（6）的广义解或古典解u（x，t）在有限时刻发生爆破，若下列条件之一成立：（1）E（0）＜0；（3）E（0）＞0且，其中定理4假定（3）其中A，B＞0，1≤ρ≤∞，其中则问题（8），（6）有唯一整体广义解u（x，t）∈C（[0，∞）；Hs（R）)．注2在定理4的条件下，若s＞5／2，则问题（8），（6）存在整体古典解u（x，t）∈C2（[0，∞）；C2（R）)．定理5假设g（s）∈C（R），u0（x）∈H1（R），u1（x）∈H1（R），ζ（s）∈L1且存在γ＞0满足不等式sg（s）≤（3+4γ）ζ（s），（?）s∈R，则问题（8），（6）的广义解或古典解u（x，t）在有限时刻发生爆破，若下列条件之一成立：（1）E（0）＜0；（3）E（0）＞0且，其中E（0）=‖u1‖2+δ‖u0x‖2+‖u1x‖2+2 integral from n=-∞to +∞ζ(u0x)dx．

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• 第二章 初值问题（1.7）,（1.8）整体解的存在性和唯一性
• §1 初值问题（1.7）,（1.8）局部广义解和局部古典解的存在唯一性
• §2 初值问题（1.7）,（1.8）整体广义解和整体古典解的存在唯一性
• 第三章 初值问题（1.7）,（1.8）解的爆破
• §1 初值问题（1.7）,（1.8）解的爆破
• 第四章 初值问题（4.2）,（4.3）整体解的存在性和解的爆破
• §1 初值问题（4.2）,（4.3）整体广义解和整体古典解的存在唯一性
• §2 初值问题（4.2）,（4.3）解的爆破
• 参考文献
• 致谢