链环与多面体及某些应用

论文摘要

众所周知,链环的投影图与符号平图一一对应,Kauffman以此建立了前者的Kauffman括号多项式与后者的Tutte多项式之间的关系。为了简化链环的Jones多项式的计算,本论文引入了universal图的概念,并建立了链环与三正则多面体之间的关系。我们也可以利用universal图来简化一部分有向链环的Homfly多项式的计算。本论文还研究了一类新的碳氢化合物——苯型链环,确定了它的最小和第二小的结构。论文共分四章。在第一章,我们介绍了纽结理论的研究背景及我们的主要工作。在第二章,我们引入了universal图的概念,任一个链环的Kauffman括号多项式可由与其对应的universal图的链多项式的一些参数取值而得到,这样就给出了统一计算同一类链环的Kauffman括号多项式的方法,从而简化Jones多项式的计算。我们还一步步地将universal图归约到三正则的3-连通图（即三维欧氏空间中的三正则多而体图）和两个特殊图｛R11,R21｝（见图2.12）。我们建立了素链环与三正则多面体之间的下述关系:设S是链环的子集合,对（?）L∈S都存在一个对应的符号平图的R图为三正则多面体图的投影图,除了（2,n）—环面结和（p,g,r）—排叉结外,所有非平凡素链环都可以通过对S中的某个链环作一些untwinning操作得到。这样,我们就得到了链环与另一古典数学研究对象——三维空间中的三正则多面体之间的意外联系。我们还将这种关系推广到一般的链环与广义三正则多面体链之间（见定义2.3.34）。最后,我们得到链环投影图交叉点数与其对应的约化符号平图的基圈数的关系,并穷举了基圈数小于7的所有universal图（11个）的链多项式,从而我们可以很容易由这11个universal图的链多项式得到交叉点数不大于13的所有链环和交叉点数大于13的许多无穷类的链环的Kauffman括号多项式。在第三章,我们利用一类有向链环的Homfly多项式与其对应的平图的链多项式之间的关系,及上一章的结果,简化了这一类有向链环的Homfly多项式的计算。类似地,我们建立这一类有向链环投影图交叉点数与其对应的平图的基圈数的关系,从而容易得到交叉点数不大于13的所有这一类有向链环和交叉点数大于13的许多无穷类的有向链环的Homfly多项式。在第四章,我们定义了一类新的碳氢化合物——苯型链环,给出了三种不同条件下的最小和第二小的非平凡苯型链环,及其Kekule结构的数目,最后用标准码给出了所有苯环数为22-25的第三类苯型Hopf链环的结构。我们期望它们成为化学家合成的目标。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 序言
• 1.1 纽结理论的一些研究背景
• 1.2 本文主要结果
• 第二章 链环与三正则多面体
• 2.1 引言
• 2.2 universal图
• 2.3 链环与三正则多面体
• 2.4 Kauffman括号多项式的计算
• 第三章 一类有向链环的Homfly多项式
• 3.1 引言
• 3.2 Homfly多项式与universal图
• 3.3 应用
• 第四章 苯型链环
• 4.1 引言
• 4.2 最小苯型链环
• 4.3 一些较小苯型链环及Kekule结构数
• 参考文献
• 作者在攻读博士学位期间完成的有关学术论文
• 致谢