Wavelet-Galerkin方法在微分方程中的应用

论文摘要

小波分析理论和再生核理论都是数学的重要分支。在自然界中许多物理现象都可以用微分方程来描述,一般微分方程没有解析解,所以讨论方程的数值解就显得尤为重要。本文分别应用小波分析理论和再生核理论对微分方程的求解和解空间的问题进行了研究。主要做了以下工作: 一方面,本文应用小波分析理论结合Galerkin 方法讨论了某一类二阶变系数微分方程的求解问题。首先,将Littlewood-paley 小波基引入到Galerkin 方法中。对于L 2 （R）上的Littlewood-paley 正交小波基进行“折叠”映射, 使得折叠小波基为L 2[0,1]的标准正交基。其次, 证明Littlewood-paley 折叠小波基满足该微分方程的边值条件。最后,运用Galerkin 方法在小波子空间中得到微分方程的数值解。本文利用Wavelet-Galerkin 方法求解微分方程,这为讨论微分方程的数值解问题提出了新的研究思路。另一方面,本文又应用再生核空间理论的特殊技巧,讨论了波动方程解空间的问题。首先,针对二阶波动方程的解,构造再生核。其次,证明了二阶波动方程的解空间构成再生核空间H 1 [0,+∞)。然后,证明这个二阶波动方程的解具有反演公式及等距恒等式。最后,讨论了二阶波动方程在更一般的边值条件下的解空间,证明了该方程的解空间也为一个再生核空间。有趣的是,这两个再生核空间的再生核具有相关性。本文的研究拓宽了再生核理论的适用范围,为波动方程的求解问题提供了新的框架。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 课题背景及研究的目的和意义
• 1.1.1 本文研究的目的和意义
• 1.1.2 小波分析的产生与发展
• 1.1.3 再生核理论的发展概况
• 1.2 本文的主要研究内容
• 第2章 预备知识
• 2.1 小波分析的基础
• 2.1.1 小波及连续小波
• 2（ R ） 空间中的多尺度分析'>2.1.2 在L²（ R ） 空间中的多尺度分析
• 2.1.3 小波空间及小波展开系数
• 2.2 再生核理论
• 2.2.1 再生核的定义及举例
• 2.2.2 再生核的基本性质及定理
• 2.3 本章小结
• 第3章 Wavelet-Galerkin 方法在微分方程中的应用
• 3.1 引言
• 3.2 构造满足初始条件的小波基
• 2（ R ） 上正交小波基'>3.2.1 构造L²（ R ） 上正交小波基
• 2[0,1 ] 上正交小波基'>3.2.2 构造L²[0,1 ] 上正交小波基
• 3.3 应用Wavelet-Galerkin 方法解某类微分方程
• 3.3.1 引言
• 3.3.2 Wavelet-Galerkin 方法的应用
• 3.4 本章小结
• 第4章 再生核理论在波动方程中的应用
• 4.1 引言
• 4.2 应用再生核理论讨论波动方程的解空间H1[0, +∞)
• 4.2.1 引言
• 1[0 ,+∞) 的描述'>4.2.2 空间H¹[0 ,+∞) 的描述
• 1[0 ,+∞) 是再生核空间'>4.2.3 空间H¹[0 ,+∞) 是再生核空间
• 4.2.4 等距公式及反演公式
• 4.3 应用再生核理论讨论波动方程的解空间H（C ）
• 4.3.1 空间H（C ） 的描述
• 4.3.2 空间H（C ） 是再生核空间
• 4.4 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读学位期间发表的学术论文
• 致谢