分担一个小函数的亚纯函数的唯一性以及一类正规定则

论文摘要

Rolf Nevanlinna在二十世纪二十年代初创立了值分布理论,为了纪念他,我们通常称之为Nevanlinna理论.该理论被看作是20世纪研究亚纯函数性质的最优秀的成果. Nevanlinna理论包含了两个基本定理,即第一基本定理和第二基本定理.这两个基本定理有着广泛的应用,例如后者显著推广了Picard小定理.Nevanlinna理论不断自我完善和发展,并被广泛应用到复分析中的其他领域,如亚纯函数唯一性理论,正规族理论,复微分方程和复动力系统理论等等.Nevanlinna复差分理论是最近才确立的.其中最重要的工具是差分的对数导数引理,Halburd-Korhonen [16]和Chiang-Feng [9]给出了该引理的两种表达形式.关于q差分函数,Barnett [2]等同样得到了类似于对数导数引理的结论.最近,Zhang和Korhonen [56]利用q差分函数的对数导数引理考察了特征函数T（r,f（qz））和T（r,f（z））之间的关系,而且做了许多应用.20世纪初P. Montel引入了正规族概念,也就是说,如果一个亚纯函数族中的任一函数列都存在一个子列在区域D上按球距内闭一致收敛,那么这个函数族是正规的（参见[36]）.随着Nevanlinna理论的发展,正规族理论也有了长足的发展.国内老一辈数学家如熊庆来,庄圻泰,杨乐,张广厚等做了许多奠基性的工作,使我国在正规族理论的研究中处于国际领先地位.在最近30年,由于Zalcman-Pang引理的诞生,使得正规族理论的研究进入了一个新天地.在此期间,中国数学家,如顾永兴,陈怀惠,庞学成,方明亮,常建明等得到了一大批优秀成果,为推动正规族理论的发展做出了卓越性贡献.本文主要包括作者在导师仪洪勋教授的指导下得到的关于亚纯函数或q差分函数分担一个小函数的唯一性定理,并研究了Lahiri型函数族的正规性,得到了几个正规定则,并利用其研究了一个关于Bruck猜想的问题.论文的结构安排如下：第一章,我们简单介绍了Nevanlinna理论的基本知识和正规族理论的发展,并在这章的最后介绍在复微分方程的研究中起着重要作用的一个理论：Wiman-Valion理论.第二章,我们研究了亚纯函数微分多项式分担一个小函数的唯一性问题.亚纯函数分担一个值的唯一性是唯一性理论中的热点问题,近年来涌现出了大批优秀成果,例如[11,12,13,26,41,48,55,58,59,60].我们通过进一步研究得到了如下更一般的结果：定理0.1.设f和g是两个非常数的亚纯函数,a（z）（≠0,∞）是f的小函数.假设n,k和m是三个正整数且n>3k+m+8,p（ω）像定理2.G中所定义.如果[fnP（f）]（k）)与[gnP（g）]（k）分担a CM,那么（Ⅰ）当p（ω）=amωm+am-1ωm-1+…+a1ω+a0时,下面三种情形之一成立.（Ⅰ1）f（z）三tg（z）,t是个常数且满足td=1,其中d=GCD（n+m,...,n+m-i,…,n）,对于某些i∈｛0,1,…,m｝,am-i≠0,（12）f和g满足代数方程R（.f,g）=0,其中R（ω1,ω2）=ω1n（amω1m+am-1ω1m-1+ ...+a0）-ω2n（amω2m+am-1ω2m-1+…+a0）,（Ⅰ3）[fnp（f）]（k）[gnp（g）]（k）=a2;（Ⅱ）当P（ω）三c0时,下面两种情形之一成立（Ⅱ1）f三tg,t是个常数且满足tn=1,（Ⅱ2）c02[fn]（k）[gn]（k）=a2.同时,我们还将定理0.1做了具体应用,得到的下面两个定理改进或者推广了以前许多结果.定理0.2.设f和g是两个非常数的亚纯函数,a（z）（≠0,∞）是f的小函数且有有限个零点和极点.假设n,k和m是三个正整数且n>3k+m+7, P（ω）=amωm+am-1ωm-z+…+a1ω+a0,其中a0≠0,a1,…,am-1,am≠0是复数.如果[fnP（f）]（k）与[gnp（g）]（k）分担a CM,f与g分担∞IM,那么下面两种情形之一成立.（1） f（z）三tg（z）,其中t是个常数且有td=1,d=GCD（n+m,...,n+m-i,…,n）,对于某些i∈{0,1,…,m｝,am-i≠0;（2）f和g满足代数方程R（f,g）三0,其中R（ω1,ω2）=ω1n（amω1m+am-1ω1m-1+…+a0）-ω2n（amω2m+am-1ω2m-1+…+a0）.定理0.3.设.f和g是两个超越亚纯函数,p（z）是次数为deg（p）=l≤5的非零多项式,n,k和m是三个正整数且n>3k+m+7.假设P（ω）=amωm+ am-1ωm-1+…+a1ω+a0是个非零多项式,如果[fnP（f）]（k）与[gnP（g）]（k）分担p CM,f与9分担∞IM.那么下面三种情形之一成立：（1） f（z）三tg（z）,t是个常数且有td=1,而d=GCD（n+m,..,n+m-i,…,n）,对于某些i∈{0,1,…,m},我们有αm-i≠0;（2）.f和9满足代数方程R（f,g）三0,其中R（ωl,ω2）=ω1n（amω1m+am-1ω1m-1+…+a0）-ω2n（amω2m+am-1ω2m-1+…+a0）;（3）P（z）退化成一个单项式,即对于某个i∈{0,1,…,m}有P（z）=aizi≠0;如果p（z）不是常数,那么f=c1ecQ（z）,g=c2e-cQ（z）,其中Q（z）=∫0zp（z）dz,c1,c2和c是常数且满足ai2（c1C2）n+1[（n+i）c]2=-1,如果p（z）是非零常数b,那么f=c3ecz,g=c4e-cz,其中c3,c4和c是常数且满足（-1）kai2（c3c4）n+i[（n+i）c]2k=b2.第三章,我们研究了q差分函数的唯一性与值分布问题,关于这方面的研究,最近Zhang和Korhonen[56]主要考虑了整函数的情形,我们将其推广到亚纯函数的情形,改进或推广了Zhang和Korhonen[56]等人的一些结果.我们得到下述定理.定理0.4.设f（z）和g（z）是两个零级的非常数亚纯函数,假设q是个非零复数,n是个正整数且n≥14.如果fn（z）f（qz）和qn（z）q（qz）分担1 CM, f和g至少有一个公共极点,则f（z）三tg（z）,其中t是个常数且tn+1=1.定理0.5.设f（z）和g（z）是两个零级的超越亚纯函数,假设q是个非零复数,n是个正整数且n>14.如果fn（z）f（qz）和gn（z）g（qz）分担z CM,则f（z）三tg（z）,其中t是个常数且tn+1=1.定理0.6.设f（z）和g（z）是两个零级的非常数亚纯函数,假设q是个复数（|q|≠0,1）,m≥15是个正整数.如果fn（z）（f（z）-1）f（qz）和gn（z）（g（z）-1）g（qz）分担1 CM,f（z）与9（z）分担∞IM,则fn（z）（f（z）-1）f（qz）三gn（z）（g（z）-1）g（qz）.另外我们还研究了fn（z）+a（z）f（qz）-b（z）的零点分布问题,该问题可看作是Hayman[19]问题fn+af’-b的q差分版本,我们得到定理0.7.设f是零级超越亚纯函数,a（z）（≠0,∞）,b（z）（≠∞）是f（z）的小函数,对于整数n≥6,则fn（z）+a（2）f（qz）-b（z）有无穷多个零点.如果f（z）是零级超越整函数,该结论对于n≥2也成立.同时我们还得到关于定理0.7的一个唯一性定理：定理0.8.设f（z）和g（z）是两个零级的超越整函数,n≥7是个整数,q是个非零复数,a（z）（≠0,∞）,b（z）（≠0,∞）都是f（z）和g（z）的小函数.如果fn（z）+a（z）f（qz）与gn（z）+a（z）g（qz）分担b（z）CM,则f（z）三g（z）.我们还举了几个例子以说明定理0.4-0.7中某些条件是必要的.第四章,我们进一步研究了形式如Lahiri所研究的函数族的正规性,得到了几个正规定则,显著推广了这方面的几个结果（参见[6,23,40]）.我们得到定理0.9.设F是区域D内的一族亚纯函数,对于函数族中的每一个f,所有的零点重数至少为k重.设a,b∈C且a≠0,m,n,k（≥1）,mj,nj（j=1,2,…,k）是非负整数使得γM2гM1-γM1гM2>0,nk+mk>0,m+n≥2.今如果存在一个正数M使得对于所有的f∈F,当z∈Ef时就有|f（z）|≥M,则F是正规族.定理0.10.设F是区域D内的一族亚纯函数,对于函数族中的每一个f,所有的零点重数至少为k重.设a,b∈C且a≠0,m,n,k（≥1）,mj,nj（j=1,2,…,k）是非负整数使得对于所有的正整数mj和nj,（1≤j≤k）,有mnmknkγM1*γM2y>0,,,当n=1或者m=1时,k≠2),m/n=mj/nj令如果存在一个正数M使得对于所有的f∈F,当z∈Ef时就有|f（z）|≥M,则F是正规族.然后我们应用定理0.9得到了一个新的正规定则：定理0.11.设F是区域D内的一族全纯函数,对于函数族中的每一个f,所有的零点重数至少为k重.设a,b（≠0）是两个有限复数,n,k,n1,…,nk是非负整数且n≥1,K≥1,nk≥1如果P（f）=a（?）M1(f,f’,…,f（k）=b,则F在区域D内正规.我们继续应用定理0.11研究了一个与Bruck猜想有关的问题,所得到的如下定理推广了Yang-zhang[53]和Lu-xu-Chen[29]的结果.定理0.12.设n,k,n1,…,nk是非负整数且n≥l,k≥1,nk≥1,a,6是两个有穷非零复数.设f是一个非常数整函数且零点重数至少k.如果fn+n1+...+nk= a（?）fn（f1）n1...（f（k））nk=b,则其中c是非零常数.特别地,如果a=b,那么f=c1ewz,其中c1是非零常数,ω是tΓM1=1的根.Vll·

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 准备工作
• §1.1 Nevanlinna理论的基本结果
• §1.2 正规族理论的发展
• §1.3 Winman-Valiron定理
• 第二章 亚纯函数分担一个小函数的唯一性及其应用
• §2.1 引言和定理
• §2.2 主要引理及证明
• §2.3 定理的证明
• §2.3.1 定理2.1的证明
• §2.3.2 定理2.3的证明
• 第三章 q差分函数的唯一性与值分布
• §3.1 引言和定理
• §3.2 主要引理及证明
• §3.3 定理的证明
• §3.3.1 定理3.1的证明
• §3.3.2 定理3.2的证明
• §3.3.3 定理3.3的证明
• §3.3.4 定理3.4的证明
• §3.3.5 定理3.6的证明
• 第四章 一类正规定则与应用
• §4.1 引言和定理
• §4.2 主要引理和证明
• §4.3 定理的证明
• §4.3.1 定理4.1的证明
• §4.3.2 定理4.2的证明
• §4.4 应用
• 参考文献
• 致谢
• 博士期间发表或完成的论文目录
• 作者简介