美式期权定价的几种数值解法

论文摘要

期权是人们为了规避市场风险而设计出来的一种金融衍生工具.期权定价是金融衍生工具理论研究和实际应用的核心.期权定价理论是目前金融工程、金融数学研究的前沿和热点问题.美式期权可以提前执行,在实践中具有更大的灵活性.一般情况下,美式期权价格却没有精确的解析定价公式,因此研究美式期权定价问题的数值解法具有重要的意义.本文研究了美式期权定价问题的几种数值解法,主要内容如下:第一章简要介绍了期权知识、美式期权定价问题模型与美式期权价格的性质,以及美式期权定价问题数值解的研究现状.第二章用紧差分方法求解美式期权定价问题.从抛物型方程自由边界问题出发,首先对问题进行变量变换,转换为抛物型初边值问题,再进行紧有限差分,并给出了差分格式的稳定性证明,然后给出数值求解的具体算法.最后进行数值实验,并与二叉树、PSOR、有限元数值方法进行比较,证明算法是非常高效和收敛的.第三章用记忆梯度投影方法求解美式期权定价问题.首先把线性互补问题转换为变分不等式问题,并进行变量变换,然后给出变分不等式问题的等价极值问题,用记忆梯度投影算法进行求解.最后进行数值实验,并与二叉树、PSOR数值方法进行比较,证明算法是非常高效和收敛的.第四章借鉴有限元方法求解美式期权定价问题.首先把线性互补问题限制到有限区域上,进行热变换,再转换为变分不等式问题,对时间跟空间区域进行离散,给出了离散格式的稳定性证明,然后给出算法并进行数值求解.最后进行数值实验,并与二叉树、PSOR等数值方法进行比较,证明算法是非常高效和收敛的.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 前言
• 1.1 期权相关知识
• 1.2 美式期权定价问题的模型及其性质
• 1.2.1 Black-Scholes 期权定价模型
• 1.2.2 美式期权定价问题模型
• 1.2.3 美式期权价格的各种性质
• 1.3 美式期权定价问题数值解的研究现状
• 第二章 美式期权定价问题的紧差分方法
• 2.1 自由边界问题及变换
• 2.2 紧差分方法
• 2.3 稳定性分析
• 2.4 算法
• 2.5 数值实验
• 第三章 美式期权定价问题的记忆梯度投影法
• 3.1 问题描述及变换
• 3.1.1 线性互补问题
• 3.1.2 变分不等式问题
• 3.1.3 log 变换
• 3.2 变分不等式问题的有限差分近似及等价极值问题
• 3.3 记忆梯度投影方法
• 3.4 算法
• 3.5 数值实验
• 第四章 美式期权定价问题的有限元方法
• 4.1 问题描述及变换
• 4.1.1 线性互补问题
• 4.1.2 变换
• 4.1.3 变分不等式问题
• 4.2 全离散近似
• 4.3 稳定性分析
• 4.4 算法
• 4.5 数值实验
• 结论
• 参考文献
• 附录A 第二章的数值算法源代码
• 附录B 第三章的数值算法源代码
• 附录C 第四章的数值算法源代码
• 攻读硕士学位期间取得的学术成果
• 致谢