可积系统与非等谱孤子方程的求解

论文摘要

本文研究的主要内容包括：孤子方程族的生成和Lie群结构方程，Hamilton结构，Liouville可积性，无穷守恒律，Lax对与共轭Lax对的双非线性化及可积辛映射与有限维Hamilton系统，孤子方程的扩展可积模型。利用Hirota方法，Wronskian技巧来研究一些等谱与非等谱孤子方程的多孤子解。利用（2+1）维孤子系统的对称约束生成（1+1）维的孤子方程，并应用Gateaux导数与泛函导数的关系得到位势对称约束的完全形式。 在第二章中，首先从所建立的新谱问题出发导出一族Lax可积的孤子方程，并研究它的双Hamilton结构与Liouville可积性。应用Lax对与共轭Lax对的双非线性化方法生成新的可积辛映射与有限维Hamilton系统。由此利用可换流的对合解给出孤子方程族解的对合表示。最后构造新的Loop代数（?），得到该方程族的扩展可积模型。 第三章主要研究三个离散的等谱问题。首先从第一离散的谱问题导出一类晶格孤子方程，并证明它具有离散的Hamilton结构与Liouville可积性。通过双非线性化方法生成新的有限维Hamilton可积系统与可积辛映射，并给出它的无穷守恒律。其次，构造新的代数系统，导出与Lotka-Volterra格相关的离散方程族，并研究它的可积性与可积耦合。最后从第三谱问题出发导出离散孤子方程的正负族，并求出位势函数和特征函数的对称约束，由Lax对的非线性化产生新的可积辛映射与有限维Hamilton系统。 第四章首先从Lie群结构方程导出非等谱AKNS方程族。通过选取Loop代数建立非等谱AKNS方程族的扩展可积模型。利用Hirota方法获得非等谱AKNS方程的双线性导数方程，并给出N-孤子解的表达式。应用Wronskian技巧证明非等谱AKNS方程具有双Wronskian解。通过约化获得非等谱Schr（?）dinger方程与它的N-孤子解和Wronskian解。最后建立非等谱AKNS方程的广义双Wronskian解。其所用的技术可推广到其它非等谱方程。 第五章对Hirota方法作直接地推广。以修正Vakhnenko方程为例，求得Hirota形式的新解。对于Wronskian技巧，引入对参数的求导，以修正Bogoyavlenskii-Schiff方程为例，得到广义的新Wronskian解。 第六章主要研究2+1维孤子系统的位势约束问题。通过高维孤子系统的位势约束生成低维的孤子方程族。首先由KP系统的对称约束生成了AKNS方程族，并给出其隐形表示。进而推广KP系统的约束，且求得多元的非等谱AKNS方程族。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• §1.1 引言
• §1.2 可积系统
• §1.3 孤立子方程的求解
• §1.4 非等谱方程
• §1.5 论文的主要工作
• 第二章 连续孤子方程族
• §2.1 连续系统的基本概念与符号
• §2.2 非线性孤子方程族及其Hamilton结构
• §2.3 对称约束与有限维可积系统
• §2.4 孤子方程族解的对合表示
• §2.5 方程族的扩展可积模型
• 第三章 离散孤子方程族
• §3.1 离散系统的基本概念与符号
• §3.2 一族离散方程与可积辛映射
• §3.2.1 一族可积的离散方程
• §3.2.2 Lax对的双非线性化与可积辛映射
• §3.2.3 方程族的无穷守恒律
• §3.3 与Lotka-Volterra格相关的离散方程族
• §3.3.1 新的代数系统与离散方程族
• §3.3.2 离散Hamilton结构与无穷守恒律
• §3.3.3 离散方程族的可积耦合
• §3.4 离散方程的正负族与可积辛映射
• §3.4.1 离散方程的正族
• §3.4.2 离散方程的负族
• §3.4.3 可积辛映射与有限维Hamilton系统
• 第四章 非等谱孤子方程的解
• §4.1 双线性导数及其性质
• §4.2 Wronskian行列式及其性质
• §4.3 非等谱AKNS方程族的扩展可积模型
• §4.4 非等谱AKNS方程的双线性形式与N-孤子解
• §4.5 非等谱AKNS方程的双Wronskian解
• §4.6 非等谱AKNS方程的约化
• §4.7 非等谱AKNS方程的广义双Wronskian解
• 第五章 孤子方程解的新表示
• §5.1 修正Vakhnenko方程Hirota形式的新解
• §5.2 修正Bogoyavlenskii-Schiff方程的新Wronskian解
• §5.2.1 mBS方程的三线性形式与N-孤子解
• §5.2.2 mBS方程的新Wronskian解
• 第六章 （2+1）维系统的约束与孤子方程族
• §6.1 KP系统约束与ANKS方程族
• §6.2 KP系统约束的推广与多元AKNS方程族
• §6.3 KP系统对称约束的完全形式
• §6.4 MKP系统约束与非线性Schr（o|¨）dinger方程族
• §6.5 MKP系统对称约束的完全形式
• 参考文献
• 博士期间科研成果
• 致谢