有界光滑域上的p（x）-Laplacian Robin边值问题与Steklov本征值问题研究

论文摘要

本博士论文主要是研究具p（x）-Laplacian算子的在RN中的有界光滑域上的形如下面的椭圆方程问题的解的存在性，多解性及本征值问题。这是一个新的而有趣的课题。本文的特点之一是在边界（?）Ω上有包含|u|p（x）-2u的项。我们根据b（x）的形式，考虑了Robin边值问题与Steklov本征值问题。在Robin边值问题中，根据非线性项h（x，u）的特点，我们分四种情况进行讨论。即，Robin本征值问题，非线性项具有一个小扰动，非线性项具有奇异系数以及非线性项具有单调性。本文的另一特点是Robin边值问题中在Ω内没有包含|u|p（x）-2u的一个正项与算子-Δp（x）u相加。因此，我们证明了一个与通常的范数等价的新范数。在Robin本征值问题及Steklov本征值问题中，我们证明了存在无穷多的本征值序列以及给出了相应问题的谱不闭的充分条件。在其余的情形，运用不同的变分原理，我们得到了相应问题的解或正解的存在性及多重性结果。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 综述
• 1.1 变指数问题研究的背景
• 1.2 关于p（x）-Laplacian方程问题研究的概况
• 1.3 本文研究的主要问题
• 第二章 变指数空间基本理论
• p（x）（Ω）'>2.1 广义Orlicz-Lebesgue空间L^p（x）（Ω）
• 2.2 Nemytsky算子
• m,p（x）（Ω）'>2.3 Sobolev空间W^m,p（x）（Ω）
• 第三章 强极大值原理和正则性
• 3.1 p（x）Laplacian方程的强极大值原理
• 3.2 p（x）-Laplacian方程的正则性
• 第四章 非线性项具有一个扰动
• 4.1 引言
• 4.2 问题和积分泛函
• 4.3 Ricceri变分原理
• 4.4 方程的解
• 第五章 非线性项具有奇异系数
• 5.1 引言
• 5.2 积分泛函和临界点理论
• 5.3 解的存在性和多重性
• 第六章 非线性项具有单调性
• 6.1 引言
• 6.2 上下解原理
• 6.3 定理的证明
• 第七章 Robin本征值问题
• 7.1 引言
• 7.2 本征值的存在性
• 7.3 问题的谱
• 第八章 Steklov本征值问题
• 8.1 引言
• 8.2 无穷多的本征值序列的存在性
• 8.3 所有本征值的下确界
• 参考文献
• 在读期间完成的科研成果
• 致谢