基于Helmholtz方程的曲面造型方法研究

论文摘要

随着CAD技术应用的日益普及,人们对几何造型方法提出了越来越高的要求。对于复杂曲面的构造和高质量曲面的设计,B样条方法已不能满足人们的需要。为了提高曲面设计的能力,简化复杂曲面的设计过程,近年来提出了一些新的曲面造型技术,如小波曲面造型方法、偏微分方程（PDE）曲面造型方法、能量曲面造型方法等。为了追踪先进研究趋向,本文研究了基于Helmholtz方程的曲面造型方法。将Helmholtz方程引入到了曲面造型技术中,为了在曲面造型设计中得到更多的自由参数,把Helmholtz方程中的系数进行扩展,给出一类含有三个形状控制参数的偏微分方程,本文把它叫做bi-Helmholtz方程。重点讨论了二阶和四阶bi-Helmholtz方程在过渡面构造及其形状控制和自由曲面设计中的应用,研究了形状控制参数对曲面形状的影响。为了提高曲面造型的交互式设计能力,本文给出了一个带有六个矢量形状函数的bi-Helmholtz方程,讨论了形状控制参数及其力源函数对曲面形状的影响,并通过修改边界条件和边界导矢来达到交互式设计的目的。由于矢量形状函数是以曲面参数u,v为自变量的连续函数,可以在整个参数域上变化,所以极大地提高了利用偏微分方程（PDE）方法构造曲面的能力。为曲面的交互式设计提供了更大的灵活性,增强了曲面的控制能力。此外本文还讨论了一种构造PDE曲面造型的数值方法,即谱配点方法,详细介绍了谱微分矩阵的计算及其在PDE曲面造型设计中的应用。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 曲面造型概述
• 1.2 论文的选题
• 1.3 国内外在该领域的研究现状和动态
• 1.4 论文的研究内容与组织
• 1.5 论文的创新之处
• 第二章 Helmholtz方程及求解
• 2.1 Helmholtz方程
• 2.2 Helmholtz方程的谱配点方法求解
• 2.2.1 Fourier微分矩阵
• 2.2.2 Chebyshev微分矩阵
• 2.2.3 谱方法与有限差分法比较
• 2.2.4 矩形域上的谱配点法
• 2.3 小结
• 第三章 基于Helmholtz方程的PDE曲面构造
• 3.1 PDE曲面造型方法的基本原理
• 3.2 Helmholtz方程的选择
• 3.3 过渡面构造
• 0连续的过渡曲面'>3.3.1 构造GC⁰连续的过渡曲面
• 1连续的过渡面'>3.3.2 构造GC¹连续的过渡面
• 3.4 自由曲面构造
• 3.4.1 容器类器皿的设计
• 3.4.2 四边曲面片设计
• 3.5 小结
• 第四章 PDE曲面造型方法的交互式设计
• 4.1 概述
• 4.2 偏微分方程曲面的初始化
• 4.2.1 选择偏微分方程
• 4.2.2 给定边界条件
• 4.3 全局设计的交互式工具
• 4.3.1 操纵位置边界条件
• 4.3.2 操纵导数边界条件
• 4.3.3 操纵矢量形状函数
• 4.3.4 操纵力源函数
• 4.4 局部设计的交互式工具
• 4.5 小结
• 第五章 总结和展望
• 5.1 完成的工作与总结
• 5.2 偏微分方程（PDE）方法研究与展望
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间发表学术论文情况