论文摘要
众所周知,群和图之间有着密切的关联.在许多情况下群的性质可以得到一些图的性质,反之亦然.例如,Gruenberg和Kegel（参见文[39]）引入了有限群G的素图GK（G）的定义,并根据素图分支得到有限群的一个分类.很多学者利用此分类得到某些单群的纯数量刻画,即用“群的阶和元素的阶”或用“元素的阶”来刻画单群,可参见文[3,5,12,14,20,25,26,27,28,29,31,32,33,34,38,40]有限群G的非交换图（?）（G）亦引起了很多作者的关注.文[22]中给出其定义如下:（?）（G）的顶点集合是G＼Z（G）,当两个顶点x与y的换位子不等于单位元时x与y相连.1987年,J.G.Thompson教授提出如下猜想.Thompson猜想设G是有限群,Z（G）=1,M是有限非交换单群,满足N（G）=N（M）,则G≌M,其中N（G）表示G中共轭类长的集合.陈贵云教授证明了Thompson猜想对素图非连通的所有非交换单群成立,可参见文[8,9,10,11].对于素图连通的非交换单群,Thompson猜想是否成立,至今没有任何结论.非交换图的概念引入之后,许多学者试图用非交换图来刻画单群.2005年,A.R.Moghaddamfar,W.J.Shi,W.Zhou和A.R.Zokayi在文[22]中证明了对某些群,如An,Sn,散在单群,素图非连通的李型单群,若存在另外一个群与其非交换图同构,则这两个群的阶相等.2006年,A.Abdollahi,S.Akbari和H.R.Maimani在文[1]中证明了对某些群,如PSL（2,2n）,Sz(22m+1),若存在另外一个群与其非交换图同构,则这两个群同构.文中还提出下述猜想:AAM猜想设M是有限非交换单群,G是有限群,满足（?）（G）≌（?）（M）,则G≌M.作者在第二章中对AAM猜想进行了讨论,考虑有限单群L2（q）,L3（q）及一般的素图非连通的有限单群,并讨论了素图连通的度数为10的交错群A10,得到如下一些结论:定理2.2.4令G是一个有限群,（?）（G）≌（?）（M）,其中M=L2（q）,则G≌M.定理2.3.5令G是一个有限群,（?）（G）≌（?）（M）,其中M=L3（q）,则G≌M.定理2.4.3设M是素图非连通的有限非交换单群,G是一个有限群,满足（?）（G）≌（?）（M）,则G≌M.定理2.5.7设G是有限群,（?）（G）≌（?）(A10),则G≌A10.群的阶和元素的阶是有限群论的基本数量,在有限群尤其是有限非交换单群的结构中起着重要的作用.设G是有限群,π（G）表示|G|的素因子,πe（G）表示G中元素阶的集合,N（G）表示G中共轭类长的集合.文[39]中给出群G的素图GK（G）的定义,其顶点集合V（GK（G））=π（G）,边集合E（GK（G））={p-q|pg∈πe（G）,p,g∈V（GK（G））}.1987年,施武杰教授提出如下猜想:猜想设G是有限群,M是有限非交换单群,则G≌M当且仅当（1）πe（G）=πe（M）,（2）|G|=|M|.作者在第三章对上述猜想进行讨论,得到下面的定理3.2.8:定理3.2.8设G是有限群,M=Dn（2）,n为偶数,则G≌M当且仅当（1）πe（G）=πe（M）,（2）|G|=|M|.定理3.2.8对文[40]不能证明的情形给出了补充.在文[19]中,作者引入特征为p的李型单群的素数幂图.我们定义这种图Γ（G）:其顶点集合是{ra|r≠p为素数,a>0是整数,G中存在ra阶元}.它是由G中的素数幂阶半单元的阶组成.对于图中两个不同的顶点ra和sb,若G中存在lcm（ra,sb）阶元,则定义ra和sb之间有一条边.作者在第四章讨论了关于特征为p的李型单群的素数幂图的连通性,及素数幂图的每个分支为完全图的有限李型单群的分类,得到如下结论:定理4.2.5李型单群的素数幂图的连通分支数至多是5.定理4.3.6设G是一个有限李型单群,其素数幂图的每个连通分支均为完全图,则G为下列群之一:（1）A1（q）,其中q>3;（2）A2（4）;（3）A2（q）,其中（3,q-1）=1;（4）A3（2）;（5）2A2（q）,其中（3,q+1）=1;（6）C2（q）,其中q＞2;（7）2B2（q）,其中q=22k+1;（8）G=G2（q）,其中q=3k.