平面向量场极限环分支的方法及应用研究

论文题目: 平面向量场极限环分支的方法及应用研究

论文类型: 博士论文

论文专业: 运筹学与控制论

作者: 谭欣欣

导师: 冯恩民

关键词: 平面向量场,极限环分支,弱第问题,分支,积分,方程,分支,传染病模型

文献来源: 大连理工大学

发表年度: 2005

论文摘要: 动力系统的分支理论是常微分方程定性理论的重要研究领域之一,主要研究依赖于参数的向量场的全局轨线拓扑结构随参数变化的规律。就平面向量场的分支理论而言,对于极限环分支的研究已成为人们关注的主要问题。D. Hilbert在1900年展望20世纪数学的未来时,提出的著名的“23个数学问题”的第16个问题,就是寻求平面向量场极限环个数的最小上界,以及这些极限环可能出现的相对位置。上世纪80年代以来这一问题的研究已与分支理论相结合。有许多数学家致力于研究Hilbert第16问题或1977年由V. I. Arnold提出的它的弱问题。然而,这一问题即使对于二次Hamilton扰动系统仍没解决。弱化的Hilbert第16问题,就是确定Abel积分的零点个数。它将平面Hamilton向量场在多项式扰动下分支出的极限环个数的最小上界归结于相应的Abel积分A（h）在其紧分支△中孤立零点的个数（计重数）的最小上界。但因为人们对高次方程求解的困难,因此,对Abel积分零点个数的求解举步维艰,所以对弱Hilbert第16问题的研究仍然是当今的热门课题之一。本文围绕上述问题展开研究,主要内容可概括如下: 1.利用Picard—Fuchs方程、椭圆积分的性质以及常微分方程解析理论,证明了对一类具有双中心的三次Hamilton可积系统,在一般三次多项式扰动下,其Abel积分零点个数的上确界为3,即在每个中心型奇点外围能而且只能扰动出3个极限环。而文献[66]得到的结果是其上界为4,因此本文改进了已有的结论。 2.提出了求解Abel积分零点个数的代数方法。与已有的研究方法不同,我们从Abel积分生成元和其各阶微分所组成的行列式的定号性来判别Abel积分零点的个数,因此可借助于符号运算系统计算,从而将极限环分支的研究从定性化转向定量化。并用此方法从理论上推导且结合数值计算验证,证明了一类以非轴对称、非退化三次曲线为Hamilton函数的Hamilton二次系统,经二次多项式微扰最多能分支出两个极限环,而且能分支出两个极限环。而且这两个极限环还具有位置上的任意性。 3.研究了二次非Hamilton可积系统的极限环分支。首先在Jiang Yu and ChengzhiLi（2002）的工作基础上,研究了直线a/c=3/2上,当b>2时一种Q3R类可积非Hamilton系统的环性;然后采用将Abel积分进行幂级数展开的方法,解决了一类双曲线边界二次系统单中心环域的Poincare’分支问题,这种方法更适用于高次多项式系统;最后讨论平面向量场极限环分支的方法及应用研究了具有双曲线与赤道弧为边界的双中心周期环域二次系统的Poincare‘分支,给出了此系统出现极限环的（0,3）分布或出现一个三重极限环的具体的构造方法。 4.利用平面向量场极限环分支的Hopf分支理论,研究了一类具有非线性传染率灯’一,S’的sIRs传染病传播的动力学模型。首次给出了当模型中指数为p全2,q之1的一般整数时,系统的平衡点的精确表达式,并给出了Hopf分支的数值计算及模拟结果。本文给出的这种简化平衡点坐标表达式的方法适用于一般情形,从而使奇点焦点量的计算简洁和可行。为进行系统的H叩f分支的研究以及定性分析创造了条件。其次,建立了带有潜伏期及终身免疫的SARS传染病SE工R动力学模型及参数辨识系统。论证了该类控制模型的主要数学性质以及系统的流不变性和弱不变性。根据官方网站公布的疫情数据辨识了SE工R模型中的参数,数值模拟结果表明了模型、算法的正确性和有效性。关键词:平面向量场;极限环分支;弱Hi!bert第16问题;Poi ncar‘分支;Abel积分; pi“ad一Fuchs方程;Hopf分支;传染病模型

论文目录:

摘要

Abstract

第1章绪论

1．1 选题的科学依据及意义、国内外研究近况

1．2 极限环的重次与稳定性

1．3 平面系统的分支

1．4 Poincare'分支与弱Hilbert第16问题

1．4．1 Poincare'分支

1．4．2 Hamilton系统的扰动与弱Hilbert第16问题

1．4．3 Poincare'分支与Abel积分

1．5 本文的主要工作

第2章平面三次Hamilton向量场的分支

2．1 引言

2．2 具有双中心的三次Hamilton系统的Poincare'分支

2．2．1 问题的引入

2．2．2 A(h)的代数构造

2．2．3 Picard—Fuchs方程及A(h)的渐近性态

2．2．4 Ricatti方程及ω(h)的单调性

2．3 主要结果

第3章非轴对称二次Hamilton向量场的分支

3．1 引言

3．2 探讨Abel积分零点的代数方法

3．2．1 问题的引入

3．2．2 主要定理

3．3 一类非轴对称Hamiltonian二次系统的Poincare'分支

3．3．1 问题的引入

3．3．2 Abel积分的代数构造

3．3．3 Picad—Fuchs方程

3．3．4 函数组Δ_i(h)定号性的研究及其判定的数值方法

3．3．4．1 函数Δ_3(h)定号性的研究

3．3．4．2 判别Δ_3(h)定号性的数值方法

3．3．4．3 Δ_1(h)，Δ_2(h)的定号性

3．3．5 主要结果

第4章平面可积系统二次非Hamilton向量场的分支

4．1 引言

4．2 一类可积非Hamilton系统的Poincare'分支

4．2．1 问题的引入

4．2．2 b＞2时系统的分类

4．2．3 Abel积分及Picard—Fuchs方程

4．2．4 b=3：以无穷大三角形为边界单中心环域的Poincare'分支

4．2．5 主要结果

4．3 以双曲线为边界的单中心环域的Poincare'分支

4．3．1 问题的引入

4．3．2 Abel积分的线性无关性

4．3．3 主要结果

4．4 以双曲线与赤道弧为边界的双中心环域的Poincare'分支

4．4．1 问题的引入

4．4．2 A(h)的代数构造

4．4．3 系统呈现极限环(0，2)及(0，3)分布的构造方法

4．4．4 具有一个三重极限环的系统的构造方法

第5章传染病传播动力学研究

5．1 引言

5．1．1 传染病研究的重要意义

5．1．2 传染病模型国内外研究概况

5．2 SIRS传染病动力学模型的建模思想

5．2．1 K-M三假设

5．2．2 几个重要概念

5．2．3 非线性传染率的SIRS传染病模型

5．3 具有非线性传染率的SIRS传染病模型的Hopf分支

5．3．1 系统(5.2.7)形状的转化

5．3．2 系统(5.3.5)的Hopf分支

5．3．3 举例

5．3．4 主要结果

5．4 带有潜伏期的SARS传染病SEIR模型及参数辨识系统

5．4．1 SARS传染病动力学的SEIR模型

5．4．2 系统的参数辨识及疫情控制区域的建立

5．4．3 带形控制区域的数学性质

5．4．4 数值模拟

结论

参考文献

攻读博士学位期间发表学术论文情况

创新点摘要

索引

致谢

大连理工大学学位论文版权使用授权书

发布时间: 2005-07-04

参考文献

[1].几类非线性动力系统的分岔与聚合行为研究[D]. 程利芳.北京交通大学2018
[2].两类非线性系统的混合模式振荡和极限环分岔研究[D]. 刘鹏.天津大学2017
[3].几类微分系统的周期轨分支[D]. 田焕欢.上海师范大学2018
[4].微分自治系统的几类极限环分支与等时中心问题[D]. 黄文韬.中南大学2004
[5].两类平面系统的极限环问题[D]. 陆炳新.南京师范大学2005
[6].Ⅲ类二次系统极限环问题和一类离散捕食系统的研究[D]. 谭远顺.南京师范大学2005
[7].Limit Cycle Problems for Some Kinds of Planar Polynomial Systems[D]. Elamin Mohamed Saeed Ali.南京师范大学2005
[8].多项式Poincaré方程的定性分析和一类生态方程周期解的存在性[D]. 田德生.武汉大学2005
[9].多项式系统的极限环分支[D]. 臧红.上海交通大学2007
[10].平面系统极限环的局部分支[D]. 江娇.上海交通大学2007

平面向量场极限环分支的方法及应用研究

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