低秩阻尼非线性特征值问题的理论和算法

论文摘要

非线性特征值问题是当前一个热门的研究方向.本文研究一类带特殊结构—低秩阻尼结构的非线性特征值问题.这类问题在振动分析,光纤设计,流固耦合问题,声学结构模拟,直线加速器设计等问题中有着广泛的应用.我们注重利用其低秩阻尼的性质,得到这一类非线性特征值问题的理论和算法上的进展.首先,我们研究对称特征值问题的非线性低秩修正问题.这也是一类低秩阻尼的非线性特征值问题.我们给出了其特征值的存在性及分布理论.在这些结果基础上,我们提出三种数值算法用来解决这类问题,包括Picard迭代,非线性Rayleigh商迭代和逐次线性逼近方法(SLAM)以及相关的防护技术.我们证明了在一些符合实际情况的条件下,SLAM具有全局收敛性.而数值例子也证明SLAM是最可靠的算法.特别的,对光纤设计非线性特征值问题,我们给出数值例子生成和实现的详细介绍.其次,我们研究低秩阻尼的二次特征值问题.我们提出一种新的方法来利用其低秩阻尼的性质进行高效求解.这种方法叫做经过Pade逼近的简约线性化(TLP)方法.TLP方法能够通过求解一个维数稍微增长的线性特征值问题来解决低秩阻尼的二次特征值问题.我们还对TLP方法做了误差分析.基于这个误差分析,我们提出了一种新的二次特征值问题的缩放技术,用来提高TLP方法的精度.数值例子证明TLP方法比常用的线性化方法更有效率.最后,我们将TLP方法推广应用于一般形式的低秩阻尼的非线性特征值问题.我们用来自于直线加速器设计等问题中的数值例子来证明TLP方法比常用的非线性Arnoldi方法在速度上有明显提升.本文的创新点如下：(1)给出对称特征值问题的非线性低秩修正问题的特征值的存在性及分布结果.(2)证明逐次线性逼近方法在某种条件下的全局收敛性.(3)对低秩阻尼的二次特征值问题提出经过Pade逼近的简约线性化方法(TLP),并给出误差分析及缩放技术.(4)将TLP方法成功推广应用于低秩阻尼的非线性特征值问题.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 主要符号对照表
• 第一章 引言
• 第二章 准备知识
• 2.1 线性特征值问题及Arnoldi方法
• 2.2 二次特征值问题及其线性化
• 2.3 非线性特征值问题及非线性Arnoldi方法
• 2.4 有理特征值问题及简约线性化
• 第三章 对称特征值问题的非线性低秩修正
• 3.1 特征值的存在及分布
• 3.1.1 非线性秩一修正
• 3.1.2 非线性低秩修正
• 3.2 算法
• 3.2.1 Picard迭代
• 3.2.2 非线性Rayleigh商迭代
• 3.2.3 逐次线性逼近方法
• 3.3 数值例子
• 第四章 低秩阻尼的二次特征值问题
• 4.1 一种新的谱变换
• 4.2 Pade逼近及简约线性化
• 4.2.1 Pade逼近
• 4.2.2 简约线性化
• 4.3 TLP方法
• 4.4 误差分析及缩放技术
• 4.4.1 误差增长因子
• 4.4.2 TLP的缩放
• 4.5 数值例子
• 第五章 低秩阻尼的非线性特征值问题
• 5.1 经过Pade逼近的简约线性化方法
• 5.2 流固耦合中的非线性特征值问题
• 5.2.1 模型
• 5.2.2 数值例子
• 5.3 直线加速器设计中的非线性特征值问题
• 5.3.1 模型
• 5.3.2 数值例子
• 第六章 结论和展望
• 参考文献
• 个人简历及论文发表情况
• 致谢