一类椭圆型方程解的存在性及多重性

论文摘要

本文考虑如下带有Dirichlet边界条件的椭圆方程：以及其中Δpu为p-Laplacian算子：Δpu=div(|▽u|p-2▽u)且当p=2时为Δu，f∈C（（?）×R，R），λ＞0为参数。在我们的讨论中总假设p＞1，Ω为RN（N≥1）中的带有光滑边界（?）Ω的有界区域。早在1973年，Ambrosetti和Rabinowitz利用著名的山路引理得到了方程（1）解的存在性，但却需要假设AR条件成立，即存在μ＞p，M＞0使得0＜μF（x，s）≤f（x，s）s对所有的|s|≥M，x∈Ω成立，其中F（x，t）=∫0tf（x，s）ds。该AR条件对于验证相应的泛函满足山路引理的几何条件以及相应的（PS）c序列有界都起到了非常重要的作用。而本文将讨论AR条件不成立时方程（1）和方程（2）解的存在性及多重性。为了得到方程（1）和（2）的解，我们将其转化为相应泛函的临界点，然后运用临界点理论来讨论方程解的存在性与多重性。主要结果如下：定理1假设在方程（1）中p=2，f满足（f1）f关于t在无穷远点为超线性，即（?）(f（x，t）／t=+∞关于x∈（?）几乎处处成立；（f2）f关于t为次临界增长，即当N＞2时存在q∈（2，（2n）／（n-2）），当N=1，2时存在q∈（2，+∞）使得（?）（f（x，t））／(|t|q-1=0关于x∈（?）几乎处处成立；（f3）（?）（f（x，t））／t=a关于x∈（?）几乎处处成立，其中0≤α＜∞为常数；（P）存在θ≥1使得当x∈Ω，t∈R和s∈[0，1]时有θG（x，t）≥G（x，st），其中G（x，t）=f（x，t）t-2F（x，t）。则方程（1）至少有一个非平凡解。定理2假设f满足（H1）当t≥0，x∈（?）时f（x，t）≥0；当t≤0，x∈（?）时f（x，t）≡0；（f1′）（?）（f（x，t））／(tp-1=+∞关于x∈（?）几乎处处成立；（f2′）当N＞p时存在q∈（p，（np）／（n-p）），当N≤p时q∈（p，+∞）使得（?）（f（x，t））／(tq-1=0关于x∈（?）几乎处处成立；（f4）（?）（f（x，t））／(tp-1=a（x）关于x∈（?）几乎处处成立，其中a∈L∞（（?））满足对所有的x∈（?）都有a（x）≤λ1且存在某正测集Ω′（?）Ω使得a（x）＜λ1在Ω′中几乎处处成立，λ1为-Δp的第一个特征值；（P′）存在θ≥1使得对所有的x∈Ω，t∈R和s∈[0，1]都有θG（x，t）≥G（x，st），其中G（x，t）=f（x，t）t-pF（x，t）。则方程（1）至少有一个正解。定理3假设f满足（f2′），（f4），（P′）以及（H2）f（x，t）t≥0对所有的t≥0，x∈（?）成立；（f1*）（?）（f（x，t）t）／（|t|p）=+∞关于x∈（?）几乎处处成立。则方程（1）至少有一正一负两个解。定理4若h∈L∞（Ω），设则Λh＞0且存在φh∈H01（Ω）使得对几乎所有的x∈Ω都有φh＞0且∫Ω|φh|2dx=Λh，∫Ωh（x）|φh|2dx=1。设f满足（H1）及（F）（?）(f（x，t）／t=b（x）（?）0且（?）(f（x，t）／t=d（x）（?）0关于x∈Ω几乎处处成立，其中b，d∈L∞（Ω）。则当Λd＜λ＜Λb或Λb＜λ＜Λd时方程（2）有一个正解。定理5假设f满足（H2）以及（F′）（?）（f（x，t））／t=b（x）（?）0且（?）（f（x，t））／t=d（x）（?）0关于x∈Ω几乎处处成立，其中b，d∈L∞（Ω）。则当Λd＜λ＜Λb或Λb＜λ＜Λd时方程（2）有一正一负两个解。定理6假设f满足（H1），（f2）及（f5）（?）（f（x，t））／t=+∞关于x∈（?）几乎处处成立。则存在α＞0使得当λ∈（0，α）时方程（2）至少有一个正解。定理7假设f满足（H1），（f2），（f5），（f1）及（P），则当λ∈（0，α）时方程（2）至少有两个正解。

论文目录

• 摘要（中文）
• ABSTRACT
• 一、前言
• 二、文献综述
• 三、预备知识
• 四、主要结果
• §4.1 一类不满足AR条件的超线性椭圆方程的解
• §4.2 一类不满足AR条件的超线性椭圆方程的正解及多解
• §4.3 一类渐近线性椭圆方程的解及多解
• §4.4 一类不满足AR条件的超线性椭圆方程的两个正解
• 五、主要结果的证明
• 六、分析和思考
• 参考文献
• 后记
• 攻读硕士学位期间的科研成果