弱优化扩张下的表示不变性

论文摘要

Artin代数表示论主要是根据其模范畴的性质刻画代数的。为此,表示不变量在代数表示论中发挥着重要的作用。本文致力于研究在环的优化扩张下的一些表示不变量。特别地,本文引入了环的弱优化扩张的定义。并研究了Artin代数的CM-有限型、有限维代数的表示型在弱优化扩张下的不变性（第二章）。本文讨论了弱优化扩张下的表示维数。首先我们证明了交换Artin环的优化扩张保持表示维数,并且我们研究了一类重要的弱优化扩张即关于一个有限维半单余半单的Hopf代数的cleft扩张下的表示维数的不变性（第三章）。最后讨论了一个有限维半单余半单的Hopf代数的cleft扩张下的倾斜不变性（第四章）。全文一共分为四章。在第一章中,我们主要介绍了问题的背景并给出了一些预备知识。在第二章中,作为环的优化扩张的推广,我们引入了环的弱优化扩张的概念,证明了Gorenstein投射维数在弱优化扩张下是不变的。并研究了有限维代数的表示型、Artin代数的CM-有限型在弱优化扩张下的不变性。下面是本章的主要结果。定理0.0.1设S是一个Artin代数A的弱优化扩张。如果Λ是有限表示型（resp. CM-有限、CM-自由）代数,则S具有相同的性质；更进一步,如果S是Λ的优化扩张,则反之亦然。定理0.0.2设B是一个有限维k-代数A的弱优化扩张。如果A是tame型代数（resp. wild型代数）则B具有相同的性质：此外,如果B是A的优化扩张,则反之亦然。在第三章中,我们研究了在Artin弋数的弱优化扩张下的表示维数。我们首先证明表示维数在交换Artin环的优化扩张下是一个不变量。另外,设k是一个代数封闭域,我们研究了一类重要的弱优化扩张即关于一个有限维半单余半单的Hopf k-代数的cleft扩张下的表示维数的不变性。如下是本章的主要结果。定理0.0.3设R是一个交换Artin环,S是一个R-代数。如果S是R的优化扩张,则S和R具有相同的表示维数。定理0.0.4设H为一个有限维半单余半单的Hopf k-代数,A是一个有限维扭H-模代数,σ是一个可逆的上循环,则A#σH和A具有相同的表示维数。推论0.0.5设k是特征为p的代数封闭域。如果P是有限群G的一个正规Sylow p-子群,则kP和kG具有相同的表示维数。在第四章中,我们研究交义积的倾斜不变性。如下是本章的主要结果：定理0.0.6设H为一个有限维半单余半单的Hopf k-代数,A是一个有限维扭H-模代数,σ是一个可逆的上循环.则T是一个可分（resp.可裂）的倾斜A-模当且仅当（A#σH）（?）A T是一个可分（resp.可裂）的倾斜A#σH-模。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• Chapter 1 Preface
• §1.1 Background and main results
• §1.2 Symbols
• Chapter 2 Invariant properties of representations under excellent extensions
• §2.1 Introduction
• §2.2 Preliminaries
• §2.3 CM-finite and CM-free
• §2.4 Representation type
• Chapter 3 Representation dimension under weak excellent extensions
• §3.1 Introduction
• 53.2 Preliminaries
• §3.3 Representation dimension under excellent extensions
• §3.4 Representation dimension under Hopf actions
• Chapter 4 Tilting modules for crossed products
• §4.1 Introduction
• §4.2 Preliminaries
• §4.3 Tilting modules
• REFERENCES
• Acknowledgements
• Paper written during PhD program