定常对流扩散方程的一种新型差分格式

论文摘要

物质输运与分子扩散的物理过程和黏性流体流动的数学模型通常为对流扩散方程的定解问题,它可以用来描述河流污染、大气污染、核废物污染中污染物质的分布,流体的流动和流体中热传导等众多物理现象。因此,对流扩散方程数值解方法的研究具有十分重要的理论和实际应用意义。求解对流扩散方程的数值方法有多种,如有限差分法、有限元法、有限体积法等,但当对流扩散方程中的对流项占优时,方程具有双曲方程的特点,故源于对流扩散方程中的非对称的对流项所引起的迎风效应使对流扩散方程的数值求解变得困难。用传统的中心差分方法和标准的Galerkin有限元法求解往往会产生数值的振荡,尽管迎风差分格式能够消除对流项非对称效应引起的振荡现象,但它却“过量”的反应了解的情况,导致数值解的扩散。近年来人们关于这类方程数值方法的研究,大都倾向各种非标准的有限元法及差分法,如迎风有限元方法,特征有限元方法,流线扩散有限元法和特征差分法,广义差分法和有限体积法等。考虑到“迎风效应”是由对流扩散方程中的不对称的对流项所引起的,本文直接从原定常对流占优扩散方程出发,通过指数变换,将其等价变换为守恒型扩散方程,然后利用有限体积法对扩散方程进行离散,从而建立了一种新型的差分格式。本文利用能量法证得一维对流扩散方程差分解的误差估计；对于二维对流扩散方程的新型差分格式,本文采用了极值原理、广义差分法及能量估计法三种方法来进行差分解的误差分析,并给出了数值实验结果。数值实验表明,本文差分格式的精度和收敛性是令人满意的,并且差分解没有出现数值振荡和扩散现象。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 对流扩散方程的背景介绍
• 1.2 中心和迎风差分格式求解对流扩散方程存在的问题
• 1.2.1 预备知识
• 1.2.2 中心差分格式求解对流扩散问题的条件限制
• 1.2.3 迎风差分格式求解对流扩散问题的条件限制
• 1.3 几种非传统的求解对流扩散方程数值方法的简介
• 1.3.1 特征有限差分法
• 1.3.2 特征有限元法
• 1.3.3 有限体积法
• 1.3.4 流线扩散法
• 1.4 本文差分格式构造的主要思想及优势
• 1.5 本文的主要工作
• 第二章 一维定常对流扩散方程
• 2.1 一维定常常系数对流扩散方程
• 2.1.1 差分格式的构造
• 2.1.2 差分解的误差估计
• 2.1.3 数值实验
• 2.2 一维定常变系数对流扩散方程
• 2.2.1 差分格式的构造
• 2.2.2 差分解的误差估计
• 2.2.3 数值实验
• 第三章 二维定常对流扩散方程
• 3.1 二维定常常系数对流扩散方程
• 3.1.1 新型差分格式的建立
• 3.1.2 差分解的误差估计
• 3.1.3 数值实验
• 3.2 二维定常变系数对流扩散方程
• 3.2.1 新型差分格式的建立
• 3.2.2 数值实验
• 第四章 总结与展望
• 参考文献
• 致谢
• 本人在研究生期间发表论文情况