幂函数叠加势的薛定谔方程的精确解

论文摘要

本文简要论述了求解薛定谔方程解析解与数值近似解的方法,我们知道除了氢原子和谐振子等少数几个势之外,大多数势所对应的能级和波函数的解析解却不能给出。各种不同幂次形式势和有理形式势在物理学许多领域中有着广泛的应用,人们用函数变换法、SU （2）群法、超对称变分法、数值计算法和升降算符法等多种方法对这类具有较复杂形式势的能级、波函数及其他性质进行了讨论。本文对环形振子（RSO）势函数在球坐标系中的薛定谔方程使用分离变量法,得到了径向方程和角向方程。再通过变量代换和函数代换,最后求解合流超几何方程,利用波函数的标准条件给出了精确的能谱方程,再由广义拉盖尔多项式的正交归一性给出了归一化的波函数;然后本文讨论三维情形下非球谐振子势V （ r ）= ar 2 + br 4 + cr6的能级和波函数,采用的方法是将径向波函数展开为指数函数与多项式函数的乘积,得到多项式函数系数之间的递推关系,再应用该关系确定体系能级和波函数,以低幂次（ p = 0,1,2）多项式函数为例,具体给出了所对应能级和波函数的精确解;最后使用Nikiforov-Uvarov（N-U）方法在RSO和非球谐振子叠加势的条件下将超几何型方程降阶到普通方程,以解二阶线性微分方程为基础,来确定薛定谔方程的精确解,精确地展示了一种新的环形非谐振子势的薛定谔方程的束缚态解,发现雅可比多项式能够表示角向波函数的解,而且,广义拉盖尔多项式能够表示径向波函数的解。所以,研究库仑势叠加上这种新的环形非谐振子势是切实可行的,对于丰富和发展量子理论有重要意义。同时本文研究了两项正幂与两项逆幂势函数叠加条件下径向薛定谔方程的精确解。采用奇点邻域附近的级数解法与求得的渐近解相结合,确定指标s以及幂函数各项系数的约束关系,通过幂级数系数比较法得到势函数为V （ r）= a1r6 +a2r2+a3r?4 +a4r?6的径向薛定谔方程的定态波函数精确解以及相应的能级结构,并利用MATLAB等工具软件作出波函数分布图形。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 1 引言
• 1.1 课题的背景及意义
• 1.2 本文的研究目的
• 1.3 本文研究的主要内容
• 2 薛定谔方程的解法
• 2.1 引言
• 2.2 分离变量法解薛定谔方程
• 2.2.1 环形振子势的精确解
• 2.2.1.1 球坐标系中变量分离RSO 的薛定谔方程
• 2.2.1.2 角向方程的解
• 2.2.1.3 径向方程的解
• 2.2.1.4 结论
• 2.3 幂级数比较法求解薛定谔方程
• 2.3.1 非球谐振子势薛定谔方程的精确解
• 2.3.1.1 非球谐振子能级与波函数精确解
• 2.3.1.2 不同p时非球谐振子的精确解
• 2.4 N-U 方法求解薛定谔方程
• 2.4.1 N-U 方法
• 2.4.2 N-U 方法求解量子系统的薛定谔方程的精确解
• 3 幂函数叠加势薛定谔方程的精确解
• 3.1 引言
• 3.2 叠加势
• 3.2.1二阶常微分方程的奇点类型
• 3.2.2 非正则奇点邻域内的渐近解
• 3.2.3 非正则奇点的薛定谔方程的级数解法
• 3.2.4 叠加势是否有一个精确解的判别方法
• 3.3 两项正幂与两项逆幂势函数叠加的径向薛定谔方程的精确解
• 3.3.1 径向薛定谔方程的渐近解
• 3.3.2 径向薛定谔方程的定态波函数精确解和能级
• 3.3.3 讨论与结论
• 4 结论与展望
• 参考文献
• 作者在攻读硕士学位期间发表的论文目录，科研情况
• 致谢