部分因析设计的最优折叠反转及相关问题的研究

论文摘要

试验设计和分析是数理统计学中最重要的分支之一,它使研究人员能够找到好的试验,有效地进行数据分析并建立来自分析的结论和最初研究目标之间的关系.常见的设计类型有因析设计、正交设计、均匀设计、区组设计、最优设计和响应曲面设计等.随着科学技术的发展,试验涉及的因素个数众多,且每个因素的水平也较多,此时完全因析设计要求的试验次数大大超过了人们的承受程度.从经济的角度出发,通常采用部分因析设计,它是完全因析设计的一个子集或部分.近二十年来,关于部分因析设计的研究出现了很多重要的理论结果并在实际中得到了广泛的应用.部分因析设计分为正规部分因析设计和非正规部分因析设计两类.正规设计有简单的别名结构,在正规设计中任何两个效应要么正交要么完全别名.另一方面,由于非正规设计试验次数的经济性和灵活性等原因,它们在实际应用中被广泛采用.示性函数对正规或非正规的因析设计给出了统一的多项式表示,为研究带来了极大的方便.应用部分因析设计的一个严重后果是因子效应之间会产生别名.利用折叠反转技术来进行跟随试验是解除因子效应别名的一种重要手段.在两水平的因析设计中,为了解除因子效应间的别名,通过对初始设计的某一列或多个列反号构成的折叠反转设计来进行跟随试验.由初始设计和由某个折叠反转方案生成的设计一起所构成的设计称为组合设计.折叠反转的思想和技术已在相关的文献中进行了讨论,并发现折叠反转设计具有很好的结构和统计性质.值得注意的是现有关于最优折叠反转方案的研究中大多数都是基于混杂准则或纯净效应准则.对两水平正规设计,Fang and Mukerjee（2000）建立了中心化L2-偏差与字长型之间的解析关系,首次将均匀性与混杂这两个看似互不相干的概念联系起来,且均匀性准则与混杂准则几乎是等价的.因此,用均匀性准则替换混杂准则来研究最优折叠反转方案是合理的、可行的.在所有的折叠反转方案中,使得组合设计具有最小的偏差值的折叠反转方案称为是最优的折叠反转方案.另一方面,现有关于因析设计折叠反转的研究主要针对两水平的情形,在多水平的因析设计中,对因析设计的列进行反号的折叠反转失去了意义,如何定义多水平的因析设计中的折叠反转方案并在合适的准则下讨论其最优的折叠反转方案将是一个很重要的问题.区组设计是一类重要的试验设计.它的基本思想来源于农业和生物试验,现在已经广泛的应用于科技、工程等各个领域.在试验中,常存在一些对响应有影响但不可控的因素或我们并不关心的因素,在处理上常把这些因素称为噪声因素.若噪声因素未知且不可控,可用随机化安排试验降低其影响,若噪声因素已知且可控,常采用区组的方法消除其影响.对给定的区组设计,其最优的折叠反转方案和相关性质,以及因析设计在同时考虑分区组和折叠反转的最优方案和性质的讨论将对理论和实际都非常有用.Doubling是构造两水平因析设计的一种简单而有效的方法,利用较小的设计通过Doubling的方法可以构造大型的且具有很好性质的设计,如正交主效应设计,分辨度为Ⅳ或更高的设计.Double设计具有很好的对称结构,可以看成初始设计在一个特殊的折叠反转方案下所构造的设计.那么初始设计在一般的折叠反转方案下按照同样的方法构造设计的性质如何?在什么时候与Double设计等价?另外,在各种设计筛选准则下Double设计与初始设计的解析联系以及Double设计的均匀性的讨论也非常有意义.试验设计的一个重要任务是如何找到“好”的设计并有效的分析试验数据,使得有更多的因子效应或与显著效应相关的模型能被估计,即一个好的试验设计是用最少的试验次数获得最多的有用信息.对于什么样的设计是“好”的设计,人们基于各种不同的角度或者模型给出了各种设计筛选准则.Fang, Ma and Mukerjee（2002）基于设计正交的角度提出了B-准则用于衡量对称设计的正交性.基于方差分析（ANOVA）模型,Xu and Wu （2001）提出了广义最小低阶混杂准则.Yue（2001）基于一个泛函ANOVA分解模型提出了渐近贝叶斯准则.那么这些基于不同统计模型或角度的设计筛选准则的是否有联系?两水平设计是一类最简单且应用广泛的设计,关于两水平设计的均匀性在最近的设计文献中受到了广泛的关注.均匀设计采用偏差来衡量设计的均匀性,均匀性准则要求设计具有最小的偏差.因此,衡量均匀性的偏差的下界是一个重要的基准.现有的关于偏差的下界在很多时候,甚至在两水平的情形都不是紧的.因此,如何对偏差的下界进行改进将是一个重要的问题,特别是对于均匀设计的构造.（1）讨论了两水平设计的均匀折叠反转设计,并把折叠反转的概念推广到多水平的情形,讨论了非对称设计的均匀折叠反转设计,得到了组合设计的偏差的一些下界.（2）讨论了非正规两水平区组设计的最优折叠反转方案,以及非正规两水平设计同时分区组和折叠反转的最优方案和性质；（3）利用折叠反转技术,提出了广义Double设计的概念并讨论了相关的性质,并讨论了在各种设计筛选准则下Double设计与初始设计的解析联系及Double设计的均匀性；（4）对非对称因析设计讨论了渐近贝叶斯准则、广义最小低阶混杂准则及B-准则之间的联系以及渐近贝叶斯准则紧的下界；（5）给出了两水平正规设计及其余设计的中心化L2-偏差更紧的下界.下面简要介绍一下各章的内容.第一章概述了试验设计的相关背景及论文的创新点和结构.第二章简要介绍了基本概念、符号,并给出后面章节要用到的相关引理和结论.第三章讨论了两水平部分因析设计在均匀性准则下的最优折叠反转方案.由于中心化L2-偏差与因析设计中的混杂准则有非常密切的关系（Fang and Mukerjee, 2000）,基于中心化L2-偏差的均匀性准则与混杂准则几乎是等价的,因此,用均匀性准则替换混杂准则来研究最优折叠反转方案有其合理性.本章讨论了两水平设计在任意折叠反转方案下的组合设计的均匀性,给出了组合设计的中心化L2-偏差的一些下界,并以这些下界为基准来寻找最优的折叠反转方案.第四章讨论了混水平部分因析设计在均匀性准则下的最优折叠反转方案.由于有些实际问题两水平试验是不够的,要求我们研究多于两水平的因子.因此,本章把折叠反转的概念推广到多水平的情形,并基于可卷型L2-偏差讨论了混水平设计在任意折叠反转方案下的组合设计的均匀性,给出了组合设计的可卷型L2-偏差的下界,并以这些下界为基准来寻找最优的折叠反转方案.第五章讨论了分区组和折叠反转两种技术都应用到非正规两水平设计的相关问题.分区组是试验设计中的一种控制系统噪声的常用技术.对于一个给定的分区组正规两水平设计,Li and Jacroux （2007）在两个最优性准则下通过算法搜索了最优处理折叠反转方案.Ai, Xu and Wu （2010）考虑了当分区组和折叠反转两种技术同时应用到两水平正规设计时的最优方案,并得到了初始设计与在任意折叠反转方案下的组合区组设计间密切联系.在本章中,将利用示性函数这一有力的工具来讨论如下两个问题：一是非正规两水平区组设计的最优折叠反转方案,进一步完善Li,Lin and Ye （2003）和Li and Jacroux （2007）的结果,二是分区组和折叠反转两种技术同时应用到非正规两水平设计时的最优方案,把Ai, Xu and Wu （2010）的结果由两水平正规设计推广到非正规两水平设计.为方便使用,本章还列出了有12,16,20次试验的非正规两水平设计的相关结果.第六章探讨了折叠反转技术在Double设计中的应用及相关问题.本章首先利用折叠反转技术把Double设计的概念进行推广,提出了广义Double设计的概念并利用示性函数讨论了相关性质,然后在几种流行的设计筛选准则下,如：E（s2）准则,最小矩混杂准则,广义最小低阶混杂准则和最小投影均匀性准则,讨论了Double设计与其初始设计间的解析联系,最后讨论了Double设计的均匀性.第七章建立了非对称因析设计的渐近贝叶斯准则、广义最小低阶混杂准则及B-准则之间的联系以及渐近贝叶斯准则紧的下界.针对非参数响应曲面预测问题,Yue（2001）基于Mitchell et al. （1994）的贝叶斯渐近方法对该问题刻画了一个贝叶斯模型并提出了渐近贝叶斯准则,其中响应的先验是一个泛函ANOVA分解模型.Yue and Wu （2004）, Yue and Chatterjee （2009）和Yue, Qin and Chatterjee （2011）分别基于几个不同的协方差核函数研究了对称U-型设计的有一个或多个响应的非参数贝叶斯回归问题.本章基于更一般的协方差核函数研究了几种基于不同的统计模型的设计准则间的联系,进一步把Yue and Wu （2004）和Yue and Chatterjee（2009）的结果推广到非对称因析设计.第八章给出了两水平正规设计及其余设计的中心化L2-偏差更紧的下界.度量均匀性的偏差准则中,中心化L2-偏差的应用最为广泛.在本章,我们把两水平设计的中心化L2-偏差表示为其示性函数的系数的二次型,然后得到了两水平正规设计及其余设计的中心化L2-偏差的一些新的下界,数值例子表明这下界是紧的,并且比现有的一些结果都要好.第九章对全文的工作作了总结并对未来的工作进行了展望.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 概述
• 1.2 论文创新点及结构
• 第二章 折叠反转设计及设计筛选准则
• 2.1 折叠反转设计
• 2.2 示性函数
• 2.3 均匀设计
• 2.4 设计筛选准则
• 2.4.1 最小低阶混杂准则
• 2.4.2 广义最小低阶混杂准则
• 2.4.3 最小矩混杂准则
• 2.4.4 最小低阶投影均匀性准则
• 2.4.5 正交性准则
• 第三章 均匀的两水平折叠反转设计
• 3.1 基本概念
• 2的下界'>3.2 基于行距离的[CD（d（γ））]²的下界
• 2的下界'>3.3 基于Kronecker乘积的[CD（d（γ））]²的下界
• 3.4 实例
• 第四章 均匀的混水平折叠反转设计
• 4.1 混水平设计的折叠反转方案
• s1×3^s2混水平设计'>4.2 2^s1×3^s2混水平设计
• 4.2.1 基本概念
• 4.2.2 组合设计的均匀性
• s×q混水平设计'>4.3 2^s×q混水平设计
• 4.3.1 基本概念
• 4.3.2 组合设计的均匀性
• 第五章 非正规两水平设计的最优分区组和折叠反转方案
• 5.1 区组设计的示性函数表示及相关准则
• 5.1.1 区组设计的示性函数表示
• 5.1.2 区组设计的相关准则
• 5.2 区组设计的最优折叠反转方案及性质
• 5.2.1 区组设计的最优折叠反转方案的性质
• 5.2.2 区组设计的最优折叠反转方案的构造
• 5.2.3 12,16,20次试验的区组设计的最优折叠反转方案
• 5.3 两水平设计的同时分区组和折叠反转的最优方案及性质
• 5.3.1 同时分区组和折叠反转的最优方案的刻画
• 5.3.2 同时分区组和折叠反转的最优方案的性质
• 5.3.3 12,16,20次试验设计同时分区组和折叠反转的最优方案
• 第六章 折叠反转技术在Double设计中的应用及相关问题
• 6.1 广义Double设计
• 6.2 广义Double设计的示性函数表示及应用
• 6.3 Double设计与初始设计在各种筛选准则下的解析联系
• 6.3.1 设计准则及其引理
• 2）准则'>6.3.2 E（s²）准则
• 6.3.3 最小矩混杂准则
• 6.3.4 广义最小低阶混杂准则
• 6.3.5 最小投影均匀性准则
• 6.3.6 数值例子
• 6.4 Double设计的均匀性
• 6.4.1 基本概念
• 6.4.2 主要结论
• 第七章 因析设计筛选准则间的联系
• 7.1 问题的提出及渐近贝叶斯准则
• 7.2 渐近贝叶斯准则与其他筛选准则的联系
• 7.3 渐近贝叶斯准则Ψ（d,K）的下界
• 7.4 数值例子
• 第八章 两水平正规设计及其余设计的均匀性
• 2-偏差的示性函数表示'>8.1 两水平设计的中心化L₂-偏差的示性函数表示
• 2-偏差的下界'>8.2 两水平正规设计及其余设计的中心化L₂-偏差的下界
• 8.3 数值例子
• 第九章 结束语
• 参考文献
• 攻读博士期间完成的科研成果
• 攻读博士期间参加的学术活动情况
• 致谢