基于分裂步长的无条件稳定FDTD算法研究

论文摘要

近年来,为了使时域有限差分（finite-difference time-domain,FDTD）算法的时间步长不再受Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）稳定性条件的限制,提出了无条件稳定FDTD算法;可以减少计算时间,提高计算效率。近年来随着通信行业的飞速发展,通信器件和设备也趋于小型化,无条件稳定FDTD算法在数值计算中的作用也越来越重要。本论文主要研究无条件稳定FDTD算法的分析理论和数值方法,并提出了几种新型具有低数值色散和高阶精度的无条件稳定FDTD算法。同时,对新型无条件稳定FDTD算法的数值特性进行了研究。本研究课题主要创新工作内容有:（一）本论文基于split-step （SS）方案和Crank-Nicolson （CN）方案,提出了一种新型三维分步无条件稳定FDTD算法。该算法具有简洁的表达形式,沿着x、y和z三个坐标轴方向,将Maxwell矩阵分解成三个子矩阵。同时,将一个时间步长分解成三个均等子时间分步,从而将一个复杂的三维问题转换成三个简单的一维问题进行处理,减少了算法的计算复杂度,该算法称为SSCN3-FDTD。另外,将Maxwell矩阵沿着三个坐标轴的正方向和负方向,进一步分解成六个子矩阵。同时,将一个时间步长分解成六个均等子时间分步,本论文提出了一种新型无条件稳定SSCN6-FDTD算法。SSCN3-FDTD算法和SSCN6-FDTD算法同时具有二阶的时间精度和空间精度。并且SSCN3-FDTD算法和SSCN6-FDTD算法的算术因子数比ADI-FDTD算法要少,从而可以减少计算时间,提高计算效率。另外,基于高阶空间中心差分格式,本论文提出了具有高阶空间精度的SSCN6-FDTD算法。为了进一步减小数值色散误差,在矩阵分解的同时,引入了三个色散控制参数,本论文提出了一种改进SSCN6-FDTD算法。（二）本论文提出了一种具有高阶精度的二维分步分解无条件稳定FDTD算法,该算法具有四个子时间分步,记为SS4-FDTD-2D。SS4-FDTD-2D算法具有新的矩阵分解形式,与SS1-FDTD算法不同。SS4-FDTD-2D算法的归一化数值相位速度误差和归一化数值相位速度各向异性误差均比ADI-FDTD-2D算法、SS1-FDTD-2D算法和SS2-FDTD-2D算法要小。为了应用于开域的电磁问题,本论文提出了一种加载NPML吸收边界的无条件稳定SS4-FDTD-2D算法。另外,基于高阶空间中心差分格式,本论文提出了具有高阶空间精度的SS4-FDTD-2D算法。为了进一步减小数值色散误差,在矩阵分解的同时,引入了两个色散控制参数,提出了一种改进SS4-FDTD-2D算法。（三）本论文基于split-step （SS）方案,提出了三种新型具有低数值色散和高阶精度的二维无条件稳定FDTD算法。在第一种算法中,采用对称阵子和均匀分解的方法,将Maxwell矩阵分解成六个子矩阵。同时,将一个时间步长分解成六个均等的子时间分步。通过变换第一种算法中子矩阵的排列次序,得到第二、三种算法。因此,三种新型算法具有类似的结构形式,并且其归一化数值相位速度误差和归一化数值相位速度各向异性误差比ADI-FDTD-2D算法和SS1-FDTD-2D算法要小。（四）本论文将SS4-FDTD-2D算法成功扩展到三维空间,提出了一种新型具有高阶精度的三维无条件稳定FDTD算法,记为SS4-FDTD-3D。采用对称阵子和均匀分解的方法,将Maxwell矩阵分解成四个子矩阵。同时,将一个时间步长分解成四个均等子时间分步。SS4-FDTD-3D算法的归一化数值相位速度误差和归一化数值相位速度各向异性误差均比ADI-FDTD-3D算法要小。并且,SS4-FDTD-3D算法采用粗网格尺寸与ADI-FDTD-3D算法采用细网格尺寸,具有相同水平的精度。另外,基于高阶空间中心差分格式,提出了具有高阶空间精度的SS4-FDTD-3D算法。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 课题来源
• 1.2 课题的研究目的和意义
• 1.3 国内外研究现状
• 1.3.1 基于交替方向隐格式（ADI）的无条件稳定 FDTD 算法
• 1.3.2 基于Crank-Nicolson （CN）方案的无条件稳定FDTD 算法
• 1.3.3 基于split-step （SS）方案的无条件稳定FDTD 算法
• 1.3.4 基于locally-one-dimensional （LOD）方案的无条件稳定FDTD 算法
• 1.4 现状分析
• 1.5 论文的主要研究内容
• 第二章 几种 FDTD 算法简介
• 2.1 引言
• 2.2 FDTD 算法简介
• 2.2.1 FDTD 算法的基本概念
• 2.2.2 FDTD 算法的数值理论
• 2.2.2.1 FDTD 算法的数值稳定性
• 2.2.2.2 FDTD 算法的数值色散特性
• 2.2.2.3 衡量算法的误差标准
• 2.2.3 FDTD 算法的吸收边界条件
• 2.2.3.1 一阶 Mur 吸收边界条件
• 2.2.3.2 CPML 吸收边界条件
• 2.2.3.3 NPML 吸收边界条件
• 2.2.4 FDTD 算法中激励源的设置
• 2.3 CN-FDTD 算法简介
• 2.4 SS-FDTD 算法简介
• 2.4.1 SS1-FDTD 算法
• 2.4.2 SS2-FDTD 算法
• 2.5 本章小结
• 第三章 基于 SS 方案和 CN 方案三步分解的三维无条件稳定 FDTD 算法
• 3.1 引言
• 3.2 SSCN3-FDTD 算法的理论推导
• 3.3 SSCN3-FDTD 算法的数值稳定性分析
• 3.4 SSCN3-FDTD 算法的数值色散关系及分析
• 3.5 SSCN3-FDTD 算法的吸收边界条件
• 3.5.1 一阶Mur 吸收边界条件
• 3.5.2 CPML 吸收边界条件
• 3.6 SSCN3-FDTD 算法中激励源的设置
• 3.7 数值结果及讨论
• 3.7.1 金属谐振腔
• 3.7.2 微带低通滤波器
• 3.7.3 微带定向耦合器
• 3.8 本章小结
• 第四章 基于 SS 方案和 CN 方案六步分解的三维无条件稳定 FDTD 算法
• 4.1 引言
• 4.2 SSCN6-FDTD 算法的理论推导
• 4.3 SSCN6-FDTD 算法的数值稳定性分析
• 4.4 SSCN6-FDTD 算法的数值色散关系及分析
• 4.5 SSCN6-FDTD 算法的吸收边界条件
• 4.5.1 一阶Mur 吸收边界条件
• 4.5.2 CPML 吸收边界条件
• 4.6 SSCN6-FDTD 算法中激励源的设置
• 4.7 数值结果及讨论
• 4.7.1 金属谐振腔
• 4.7.2 微带低通滤波器
• 4.7.3 微带定向耦合器
• 4.8 高阶精度SSCN6-FDTD 算法
• 4.9 改进SSCN6-FDTD 算法
• 4.9.1 色散控制参数的引入
• 4.9.2 改进SSCN6-FDTD 算法的数值稳定性分析
• 4.9.3 改进SSCN6-FDTD 算法的数值色散关系及分析
• 4.9.3.1 数值色散关系式
• 4.9.3.2 色散控制参数的确定
• 4.9.3.3 数值色散特性分析
• 4.9.3.4 数值结果及讨论
• 4.10 本章小结
• 第五章 高阶精度的四步分解二维无条件稳定 FDTD 算法
• 5.1 引言
• 5.2 SS4-FDTD-2D 算法的理论推导
• 5.3 SS4-FDTD-2D 算法的数值稳定性分析
• 5.4 SS4-FDTD-2D 算法的数值色散关系及分析
• 5.5 SS4-FDTD-2D 算法的数值精度分析
• 5.6 SS4-FDTD-2D 算法的吸收边界条件
• 5.6.1 一阶Mur 吸收边界条件
• 5.6.2 CPML 吸收边界条件
• 5.6.3 NPML 吸收边界条件
• 5.7 SS4-FDTD-2D 算法中激励源的设置
• 5.8 数值结果及讨论
• 5.9 高阶空间精度SS4-FDTD-2D 算法
• 5.10 改进SS4-FDTD-2D 算法
• 5.10.1 色散控制参数的引入
• 5.10.2 改进SS4-FDTD-2D 算法数值稳定性分析
• 5.10.3 改进SS4-FDTD-2D 算法数值色散关系及分析
• 5.10.3.1 数值色散关系式
• 5.10.3.2 色散控制参数的确定
• 5.10.3.3 数值色散特性分析
• 5.10.3.4 数值结果及讨论
• 5.11 本章小结
• 第六章 三种新型的六步分解二维无条件稳定 FDTD 算法
• 6.1 引言
• 6.2 三种SS6-FDTD-2D 算法的理论推导
• 6.2.1 SS6-1-FDTD-2D 算法
• 6.2.2 SS6-2-FDTD-2D 算法
• 6.2.3 SS6-3-FDTD-2D 算法
• 6.3 三种SS6-FDTD-2D 算法的数值稳定性分析
• 6.3.1 SS6-1-FDTD-2D 算法
• 6.3.2 SS6-2-FDTD-2D 算法
• 6.3.3 SS6-3-FDTD-2D 算法
• 6.4 三种SS6-FDTD-2D 算法的数值色散关系
• 6.4.1 SS6-1-FDTD-2D 算法
• 6.4.2 SS6-2-FDTD-2D 算法
• 6.4.3 SS6-3-FDTD-2D 算法
• 6.5 三种SS6-FDTD-2D 算法的数值色散分析
• 6.6 三种SS6-FDTD-2D 算法的数值精度分析
• 6.6.1 SS6-1-FDTD-2D 算法
• 6.6.2 SS6-2-FDTD-2D 算法
• 6.6.3 SS6-3-FDTD-2D 算法
• 6.7 三种SS6-FDTD-2D 算法的吸收边界条件
• 6.7.1 一阶Mur 吸收边界条件
• 6.7.2 NPML 吸收边界条件
• 6.8 三种SS6-FDTD-2D 算法中激励源的设置
• 6.9 数值结果及讨论
• 6.10 本章小结
• 第七章 高阶精度的四步分解三维无条件稳定FDTD 算法
• 7.1 引言
• 7.2 SS4-FDTD-3D 算法的理论推导
• 7.3 SS4-FDTD-3D 算法的数值稳定性分析
• 7.4 SS4-FDTD-3D 算法的数值色散关系及分析
• 7.5 SS4-FDTD-3D 算法的数值精度分析
• 7.6 SS4-FDTD-3D 算法的吸收边界条件
• 7.6.1 一阶Mur 吸收边界条件
• 7.6.2 CPML 吸收边界条件
• 7.7 高阶空间精度SS4-FDTD-3D 算法
• 7.8 数值结果及讨论
• 7.9 本章小结
• 第八章 三种新型的六步分解三维无条件稳定FDTD 算法
• 8.1 引言
• 8.2 三种SS6-FDTD-3D 算法理论推导
• 8.3 三种SS6-FDTD-3D 算法的数值稳定性分析
• 8.3.1 SS6-1-FDTD-3D 算法
• 8.3.2 SS6-2-FDTD-3D 算法
• 8.3.3 SS6-3-FDTD-3D 算法
• 8.4 三种SS6-FDTD-3D 算法的数值色散关系式
• 8.4.1 SS6-1-FDTD-3D 算法
• 8.4.2 SS6-2-FDTD-3D 算法
• 8.4.3 SS6-3-FDTD-3D 算法
• 8.5 三种SS6-FDTD-3D 算法的数值精度分析
• 8.5.1 SS6-1-FDTD-3D 算法
• 8.5.2 SS6-2-FDTD-3D 算法
• 8.5.3 SS6-3-FDTD-3D 算法
• 8.6 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间取得的研究成果
• 致谢
• 附表