量子纠缠和局部幺正变换下量子态的分类

论文摘要

量子理论中的一个重要问题是子系统之间可能存在纠缠。这种现象的重要性已经在量子信息科学的几个重要成果中得到体现。尽管纠缠的非经典特征已经在很多年以前就意识到了，只是近几年人们才关注它的精确性质的理解和刻画。纯态的可分性已经得到了很好的解决。对于混合态，部分转置判据可以判断2×2或者2×3系统的混合态的可分性。但是这个判据对于高维或者多体系统只是必要条件。 量子纠缠的一个重要性质是在局部幺正变换下是不变的。因此局部幺正变换下的不变量就成了一个需要研究的重要对象。一个不变量的完全集合可以用来确定两个态在局部幺正变换下是否是等价的。虽然这个问题已经得到了广泛的研究，但是只是对于一些简单的情况得到了不变量的完全集合，比如两个量子比特系统[33]。对于一般的两体系统，[34]中给出了满秩一般密度矩阵的不变量的完全集合。对于三体或者更多子系统的态也有一些结果，比如文献[32，20]中，但是在这些系统中，即使对于纯态我们也没有办法找到所有的不变量。 我们首先通过寻找刻画等价性的不变量的完全集合来研究量子态在局部幺正变换下的等价性。我们通过构造一些辅助不变量，将[34]中的结果推广到一般两体系统中，从而使得我们可以完全地解决任意两体系统的量子态的等价性问题。我们还给出了一类非一般三个量子比特态的不变量的完全集合。 然后，我们考虑了量子态的可分性。我们利用[83]中的d—可计算态构造了一类PPT纠缠态。这将有利于研究这种类型量子态的结构。最后我们研究了厄米矩阵的近似张量积分解。给出了两体系统厄米的最小和分解，并利用这个分解讨论了量子态的可分性。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 Introduction
• 2 Preliminaries
• 2. 1 Mathematical background
• 2. 2 The postulates of quantum mechanics and quantum states
• 2. 3 The density operator
• 2. 3. 1 Definition
• 2. 3. 2 Restate of the postulates
• 2. 3. 3 Some properties of density operators
• 2. 3. 4 Pure states and mixed states
• 2. 3. 5 The polar and singular value decomposition
• 2. 4 Composite quantum systems
• 2. 4. 1 The reduced density operator
• 2. 4. 2 Separability and the Schmidt decomposition
• 3 Equivalence of quantum states under local unitary transformations
• 3. 1 Equivalence of arbitrary bipartite states under local unitary transformation
• 3. 2 Invariants for a class of nongeneric three-qubits states
• 4 A class of bound entangled states
• 4. 1 4×4 systems
• 4. 2 8×8 systems
• 4.3 Conclusion
• 5 Hermitian tensor product approximation of density matrices
• 5.1 Tensor product decomposition in terms of real symmetricmatrices
• 5.2 Hermitian tensor product decomposition of Hermitian matrices
• 5.3 Separability of bipartite mixed states
• 5.4 Conclusion and remarks
• 6 Summary and Conclusion
• References
• Acknowledgements
• List of Publications