自然单元法及程序实现

论文摘要

自然单元法利用求解区域的Voronoi结构、自然邻接插值和自然邻接点来构造整体近似函数，并在求解区域的Delaunay三角形子域上采用Galerkin过程建立整体求解方程，其积分可在背景三角形网格采用数值积分得到．自然单元方法的基函数采用多元数据插值格式的自然邻接插值．依据已有的Laplace插值基函数定义式，利用三角形角的关系，给出了Laplace插值基函数关于邻接点坐标的具体表达式．在采用Sibson插值构造基函数的NEM做一维数值实验过程中，理论上证明了一维空间中自然单元法和有限元方法的等价性．考虑自然邻接点个数的情况，在二维空间中也寻找N T N种使得NEM和FEM等价关系成立的特殊情况：自然邻接点个数分别为3和4的情形．在数值实验部分，针对二维线弹性力学问题，给出了数值实验．自然单元法和有限元法的最本质区别在于试探函数和检验函数的构造．目前有两种构造自然邻接基函数的方法：Sibson插值和Laplace插值(non一Sibsonian插值)基函数．不过，在实际计算中Laplace插值格式远比Sibson插值格式方便和简单．

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• 第二章 Voronoi图及其对偶Delaunay三角形
• 2.1 Voronoi图的定义及其性质
• 2.2 Delaunay三角形的定义及其性质
• 第三章 自然元方法概述
• 3.1 自然邻接形函数
• 3.1.1 Sibson插值形函数
• 3.1.2 Laplace插值形函数
• 3.1.3 Laplace插值形函数的数值计算方法
• 3.1.4 Sibson插值形函数的一阶偏导数
• 3.1.5 Laplace插值形函数Sibson插值形函数的区别与联系
• 3.2 一维自然邻接形函数
• 3.3 二维空间中自然单元法的特殊情况
• 3.3.1 三个自然邻接点
• 3.3.2 四个规则自然邻接点
• 3.4 边界（?）Q上的线性精度
• 3.5 NEM、FEM和EFG的比较
• 第四章 自然单元法算法流程
• 4.1 自然单元法算法流程
• 4.2 算法描述
• 第五章 数值实验结果
• 5.1 二维弹性力学问题的变分离散形式
• 5.2 数值实验
• 结论和展望
• 参考文献
• 致谢