![关于方程ab=[nα]](https://www.lw50.cn/thumb/2848e0e32e788bda060701e4.webp)
论文摘要
数论是一门研究整数性质的学科,素数分布及素数的性质一直是数论研究的中心课题之一.围绕素数定理展开的相关问题的讨论,使得数论的理论体系不断丰富和发展.从素数定理而延伸出来的,对一般的多项式序列是否包含无穷多素数的研究,是目前的数论中的一个重要研究课题.在线性多项式的情形,已经由算术序列中的Dirichlet素数定理得到解决.但对于次数大于等于2的多项式至今还未解决.对于k=2的情况,Iwaniec[1]证明了{n2+1}序列中包含无穷多P2.作为中间情况,Piateski-Shapiro[2]首先研究了具有[nc]形式的素数问题,这里1<c<2为固定实数.很显然，[nc]可以看作是一个”c次多项式”.Piateski-Shapiro证明了方程当1<c<12/11时是可解的,而且得到了n不超过x的素数的个数πc（x）的渐进公式.c的范围也不断被改进,目前最好的结果是J.Rivat和Sargos[3]:1<c<2817/2426.近年来,数论中出现了很多关于普通数列和特殊序列中的混合问题的研究,在这一领域的一个最早研究结果可参见文.在这些文章中,主要研究了a+b的和,ab的积的算术性质,其中a，b分别属于两个”稠密”集Α（?）N,β（?） N.Rivat[5]研究了Piatetski-Shapiro素数问题在ab序列中的一个类似：研究下述方程的可解性,其中1<c<2且Α,β(?0N是两个稠密集合.结合算术函数的性质,我们考虑在Beatty序列中研究混合问题.设α∈R,序列Bα={[nα]|n∈N}叫做由α决定的Beatty序列.Beatty序列近年来由于同半群的联系而受到关注（见[6]及其参考文献）.在这篇文章中,我们考虑在Beatty序列中研究方程的可解性,其中α是无理数.我们将证明定理1设α为无理数,令θ=1/α,存在有理逼近q/T,满足令N=[2/q].对任意集合Α,β（?）（N,2N）,若时,则方程（3）是可解的,其解数S满足估计式受上述结果的启发,本文将考虑一个Piateski-Shapiro素数问题的变体问题.我们将证明下面的定理.定理2设k≥12为固定正整数,则当1<c<c0时,方程是可解的,其中Pk表示至多含k个素因子的殆素数.那么作为这类问题的推广,相应于定理2,我们有定理3设k≥10为固定正整数,存在一个N0=N0（c）>0和δ=6（c）>0,使得当N>N0,对某特定的密度集合Α，β（?）(N2/c,（2N）2/c],当1<c<c1时,方程是可解的,其中Pk表示至多含k个素因子的殆素数.