论文摘要
计算数学的应用遍及当前科学与工程的各个领域,在航空航天、生命科学、资源勘探、材料设计等方面都发挥着重要的作用.科学技术人员利用现代高性能的计算机,从数学理论出发,建立问题模型,经过求解相应的方程,得到最后期望的结果.在这一系列的过程中,大型稀疏线性代数系统的求解在整个问题求解时间中占有很大的比重,有的甚至达到80%.因此,作为大规模科学计算基础的线性代数系统的高效数值求解引起了人们的普遍关注,成为了大规模科学与工程计算的核心问题之一,它的研究具有重要的理论意义和实际应用价值.这种线性代数系统的求解一般采用迭代法,所以迭代法的收敛性和收敛速度也就成为了人们关注的焦点,是许多专家和学者研究的课题.本文针对某些特定的大型稀疏线性代数系统的迭代解法进行了深入、系统的研究,特别研究了迭代法的收敛性、比较定理以及迭代法的预条件技术.本文主要内容和创新点如下：1.针对Z-矩阵线性系统,研究了预条件SOR迭代方法和预条件Gauss-Seidel迭代方法,构建了新型的预条件矩阵,给出了详细的理论分析和收敛速度的比较,数值算例验证了所提方法的有效性.2.正定线性代数系统的预条件迭代求解一直是许多学者研究的热点,而M-矩阵作为一类特殊的正定矩阵,如何利用它的一些特殊性质有针对性地构造预条件方法更是令许多学者着迷.本文针对M-矩阵线性代数系统,引入了一种新型的预条件矩阵,构建了预条件AOR迭代方法,证明了若原系统的系数矩阵是M-矩阵,则预条件后的系数矩阵也是M-矩阵的结论,并给出了新方法的收敛分析.数值算例验证了新方法的收敛速度优于经典的AOR方法.3.针对H-矩阵线性系统,构造了两种新颖的预条件矩阵,建立了两种相应的预条件Gauss-Seidel迭代方法,确定了方法收敛的条件.借助于H-矩阵所具有的特殊性质,给出了预条件迭代方法与经典迭代方法之间收敛速度的比较.对于预条件矩阵中所涉及的参数,还给出了参数的取值区间,并用MATLAB语言进行编程计算,验证了新方法的有效性和优越性.4.利用预条件方法,构造了双参数预条件广义加速超松弛迭代法和多参数预条件广义加速超松弛迭代法,完善了广义加速超松弛迭代法理论.针对与求解加权线性最小二乘问题相关的线性系统,建立了相应的迭代格式,给出了收敛定理和参数选取范围,扩大了方法的适用范围.比较定理和数值算例都验证了所建立方法无论在参数选取范围还是在收敛速度都优于已有算法.