论文摘要
作为数值求解的一种手段,谱方法在近几十年得到了蓬勃的发展,它不仅被广泛运用于物理、力学、大气、海洋等领域的数值计算,而且它的数值分析理论也不断地趋于完善.快速Fourier变换的引入,使得本身就具有无穷阶收敛性的谱方法的计算量大大降低,从而使其日益受到人们的重视,并获得了迅速的发展. 本文利用Fourier-Galerkin谱方法讨论了两类非线性偏微分方程.首先,利用该方法讨论了具有高阶导数项的非线性Benney方程的周期初值问题,构造了其半离散的Fourier谱格式,证明了该问题广义解的存在性、唯一性及其稳定性,并在半离散谱格式的基础上对时间层进行离散,构造了全离散的谱格式,得到了近似解的H1—误差估计,证明了近似解的收敛性,模拟了方程孤立波解的传播.其次讨论了风蚀沙波纹方程的演化问题,构造了该问题的半离散谱格式,证明了近似解的H2—误差估计,最后也对该方程进行了数值模拟,得到的结果与实际情形较吻合.