贝努利多项式与幂和等式

论文摘要

贝努利数及贝努利多项式在许多领域,如数论、组合学、数量分析理论中有许多重要的应用,在过去的两个多世纪中数学家们对此进行了广泛而又深入的研究。十七世纪,数学家Jacob Bernoulli在研究自然数的幂和式时发现了这类特殊的数在等式中的应用。此后,在有关贝努利数及多项式的研究中,包含贝努利数或多项式的恒等式引起了众多研究者的兴趣。研究者用许多不同的方法得到包含贝努利数及多项式的恒等式。本论文的主要内容是关于推导一些新的关于贝努利多项式的恒等式并给出与贝努利多项式有关的Faulhaber定理的一般推广。第一章中我们介绍了贝努利数和欧拉数及多项式的基本定义和性质,以及一些不同的扩展贝努利多项式。同时我们介绍了一个与幂和相关的重要定理,Faulhaber定理,并将此定理推广到一般等差级数的幂和。在第二章中,我们首先列出了一些已知的贝努利恒等式,这些恒等式同时包含了一般卷积和二项式卷积。之后我们得到一个Carlitz恒等式的扩展形式,并由此推导出一个可推出一些已知等式的更一般化的对称贝努利恒等式。最后得到两个包含扩展贝努利多项式的对称恒等式。贝努利多项式与Stirling数有着密切的联系。利用Stirling数的反演关系,我们在第三章中得到两对包含贝努利多项式及第二类贝努利多项式乘积的反演关系式。第四章中,我们证明了Falhaber定理对于任意等差级数的奇数幂和仍然成立,即等差数列a+b,a+2b,…,a+nb的奇数幂和是na+n（n+1）b/2的多项式。其系数是由贝努利多项式给出。利用Knuth的方法,我们用中心阶乘数给出了r重幂和的公式。同样的我们给出了r重交错幂和的公式。最后,我们研究了二项式的幂和等式。利用超几何级数的多重变换公式,我们得到（?）,（?）,…,（?）的幂和含有因子（?）。若m为每一项的乘方数,当rm为奇数且r≥3时,二项式的幂和含有因子（?）2.应用相同的变换公式,我们给出了Schmidt问题的一个更直接的证明。

论文目录

• Abstract （in Chinese）
• Abstract （in English）
• Table of Contents
• 1 Introduction
• 1.1 Bernoulli and Euler Polynomials
• 1.2 Generalizations of Bernoulli Polynomials
• 1.3 Power Sums and Faulhaber's Theorem
• 2 Symmetric Identities on Bernoulli Polynomials
• 2.1 Bernoulli Polynomials Identities
• 2.2 Symmetric Identities
• 2.3 Other Generalizations of the Symmetric Identities
• 3 Inverse Relations and Products of Bernoulli Polynomials
• 3.1 Sum of Products of Bernoulli Polynomials
• 3.2 Inverse Relations and Bernoulli Polynomials
• 4 Faulhaber's Theorem on Power Sums
• 4.1 Classical Faulhaber's Theorem
• 4.2 An Alternating Formula for Power Sums
• 4.3 r-Fold Sums of Powers
• 4.4 r-Fold Alternating Sums of Powers
• 5 On Power Sums of Binomial Polynomials
• 5.1 On Observations
• 5.2 Multiple Transformation Identity
• 5.3 Schmidt's Problem
• Bibliography
• Acknowledgement
• Resume