单位球的Bergman空间上Toeplitz算子的若干问题

论文摘要

Bergman空间及其上的Toeplitz算子和Hankel算子作为算子理论的一个活跃分支,不仅与众多数学分支有紧密联系,而且与其它学科也有不可分割的关联.特别是它们在小波分析和控制理论等学科中有着重要的应用.近十几年来,人们发现函数论和算子理论中的一些经典问题与Bergman空间及其Toeplitz算子密切相关,如:不变子空间问题.Bergman空间及Toeplitz算子的研究也引出了许多有趣的复分析和微分方程等问题.这使得Toeplitz算子研究一直持续升温.本文主要研究单位球的Bergman空间上的紧算子,对偶Toeplitz算子的交换性和Nehari型定理以及Hankel算子乘积的有界性和紧性.研究了单位球Bergman空间正交补空间（Aα2（Bn））⊥上对偶Toeplitz算子的交换性、本性交换性和本性半交换性等.利用正规化再生核Kω（α）的特殊性和解析函数平均值性质,建立了一秩算子Kω（α）（?）Kω（α）与Toeplitz算子之间的联系.利用此关系,给出两个对偶Toeplitz算子可交换的充分必要条件,两个对偶Toeplitz算子本性可交换的充分必要条件以及本性半交换的充分必要条件.研究了单位球加权Bergman空间Aαp（Bn）（p>1）上的紧算子.利用函数理论给出单位球加权Bergman空间Aαp（Bn）上算子S在某些积分条件下是紧算子的充分必要条件.证明了Bergman空间Aαp（Bn）上一个形如Tf1…Tfn的有限和的算子S,其中fj是L1中具有有界Berezin变换的函数,是紧的当且仅当它的Berezin变换在边界上趋于零.研究了单位球Bergman空间Aαp（Bn）上的Nehari型定理.利用Bergman空间Aαp（Bn）上的原子分解,证明了若Aα2（Bn）上的有界线性算子S有（?）（i=1,2…,n）,则S一定是一个Hankel算子.研究了单位圆盘加权Bergman空间上Toeplitz算子和Hankel算子的乘积.证明了不变拉普拉斯与Berezin变换在单位圆盘加权Bergman空间上是可交换的.给出了以L2（D,dAγ）函数为符号的Hankel算子乘积和以L2（D,dAγ）函数为符号的混合Haplitz乘积有界的充分条件.得到了HfHg*的紧性的刻画,以及算子乘积（?）是紧算子的充分必要条件.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 函数空间上的算子
• 1.2 算子乘积概述
• 1.3 紧算子概述
• 1.4 Nehair型定理
• 1.5 本文的主要工作
• 2 单位球上对偶Toeplitz算子的交换性
• 2.1 引言
• 2.2 对偶Toeplitz算子的交换性
• 2.3 对偶Toeplitz算子的乘积
• 2.4 对偶Toeplitz算子的本性交换性
• 2.5 对偶Toeplitz算子的本性半交换性
• 3 单位球上的紧算子
• 3.1 本章的主要结果
• 3.2 Berezin变换
• 3.3 一些引理
• 3.4 主要结果的证明
• 3.5 定理3.1的证明
• 3.6 定理3.3的证明
• 4 单位球上Nehari型定理
• 4.1 引言
• 4.2 Nehari型定理
• 5 加权的Bergman空间上Berezin变换和Hankel算子的乘积
• 5.1 引言
• 5.2 Berezin变换的性质
• 5.3 一些微分不等式
• 5.4 Hankel算子乘积的有界性
• 5.5 Hankel算子乘积的紧性
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表学术论文情况
• 致谢
• 作者简介