关于Boltzmann方程的柯西问题和边界层问题的一些数学理论

论文摘要

本文主要研究关于玻尔兹曼方程的柯西问题和边界层问题的数学理论。柯西问题已经熟为人知,边界层问题源自物理中的蒸发和冷凝现象,是在边界附近关于小的Knudsen数的玻尔兹曼方程的一阶逼近。本文分成两大部分。在第一部分里,我们考虑全空间下和环面上的带位势力的玻尔兹曼方程的柯西问题。在全空间里,我们研究在更少限制的位势力下的柯西问题。当初值充分靠近稳定态和外力具有某种小性的时候,利用能量方法,我们得到了方程的适定性结果和解的最优收敛速度,对于更一般的硬势碰撞情况也有相应的结论。在环面上,我们考虑了在硬势下的带位势力的玻尔兹曼方程的整体存在性和稳定性。我们得到；当初始值关于原点对称并且与稳定态具有相同的质量、动量和能量时,同时位势力关于原点对称并且很小,柯西问题存在唯一整体解而且以指数速率收敛到稳定态。在第二部分里,我们考虑在逆幂律势下的带混合边界条件的玻尔兹曼方程的边界层解的情况。我们考虑的混合边界条件是在墙面上的Dirichlet边界条件和散射边界条件的线性组合,其中散射很弱。边界条件施加在进入气体的粒子上,并且假设方程的解在无穷远处收敛到一个整体Maxwellian。如同Dirichlet边界条件,我们得到：方程解的存在性依赖于无穷远处的Maxwellian的Mach数,边界值的隐性可解条件表明边界值的余维数等于正的特征速率的数目。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 目录
• 第1章 引言
• 1.1 物理背景
• 1.2 Boltzmann方程
• 1.2.1 碰撞算子的性质
• 1.2.2 线性碰撞算子
• 1.3 小结
• 第2章 全空间下的玻尔兹曼方程
• 2.1 引言
• 2.2 整体存在性
• 2.2.1 局部存在性
• 2.2.2 先验估计
• 2.3 稳定性
• 2.3.1 一致稳定性
• 2.3.2 收敛速度
• 第3章 环面上的玻尔兹曼方程
• 3.1 引言
• 3.2 准备
• 3.3 整体解
• 3.3.1 微观耗散
• 3.3.2 宏观耗散
• 3.3.3 主要结果
• 第4章 硬势下的边界层
• 4.1 引言
• 4.2 准备工作
• 4.2.1 权函数
• 4.2.2 线性碰撞算子
• 4.3 线性存在性
• 4.4 非线性存在性
• 第5章 软势下的边界层
• 5.1 引言
• 5.2 准备工作
• 5.3 带阻尼的线性存在性
• 5.4 带阻尼的非线性存在性
• 5.5 可解条件
• 参考文献
• 致谢
• 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果