半线性偏微分方程的分支理论及其应用

论文摘要

在半线性偏微分方程的研究领域当中有一类非常重要的非线性现象,这类非线性现象就是分支现象,它反应的是流的拓扑结构随参数的变化而引起质的变异。分支问题主要包括局部分支问题、半局部分支问题和全局分支问题。偏微分方程分支问题的研究既要用到经典的动力系统理论,又要用到拓扑、代数、泛函等相关知识,其研究具有强烈的实际背景和重大的理论意义。本文利用中心流形理论、规范型方法以及全局稳态分支定理等数学理论与数学方法,针对几类半线性偏微分方程的局部Hopf分支、全局稳态分支以及图灵分支进行了系统的研究。本文的主要工作如下:1、利用中心流形理论和规范型方法,给出了一般的半线性偏微分方程的局部Hopf分支定理:给出了判定Hopf分支存在性的条件,以及判定分支方向和分支周期解稳定性的一般的计算公式。这一定理的提出,为半线性偏微分方程局部Hopf分支的研究提供了方法和途径;结合一类具有扩散项的捕食与被捕食模型和刻划CIMA化学反应的Lengyel-Epstein系统,我们证明了这两类半线性偏微分方程,不但具有空间齐次的周期解,而且还具有空间非齐次的周期解;同时,我们证明了,空间的“大小”影响着空间非齐次分支周期解的个数:当空间区域足够大时,空间越“大”,空间非齐次分支周期解的个数越多。2、利用史峻平和王学峰的推广的全局稳态分支定理（该定理指出,在适当的条件下,局部稳态分支和全局稳态分支是等价的）,给出了适用于一般半线性偏微分方程的简化的全局稳态分支定理。结合一类具有扩散项的捕食与被捕食模型,给出了这类半线性偏微分方程产生全局稳态分支的条件,并证明了在适当的条件下,系统的稳态分支曲线将形成一个“线圈”,该“线圈”连接系统的两个不同的稳态分支点。同时,研究了这类半线性偏微分方程中Hopf分支和稳态分支之间的相互作用与影响。3、利用适用于一般的半线性偏微分方程处理图灵分支的方法,在一维的有界的空间区域上,考虑了刻划CIMA化学反应的Lengyel-Epstein系统的图灵分支,得到了易于验证的一般性的判别准则。同时,通过数值模拟对我们的理论分析加以验证。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 插图
• 第1章 绪论
• 1.1 课题背景及意义
• 1.2 Hopf 分支
• 1.3 稳态分支
• 1.4 图灵分支
• 1.5 本文的主要工作
• 第2章 Hopf 分支定理及其应用
• 2.1 引言
• 2.2 半线性偏微分方程的Hopf 分支定理
• 2.3 Hopf 分支定理在捕食与被捕食系统中的应用
• 2.3.1 局部系统的分支与稳定性分析
• 2.3.2 反应扩散系统的分支与稳定性分析
• 2.4 Hopf 分支定理在Lengyel-Epstein 系统中的应用
• 2.4.1 局部系统的分支与稳定性分析
• 2.4.2 反应扩散系统的分支与稳定性分析
• 2.5 本章小结
• 第3章 稳态分支定理及其应用
• 3.1 引言
• 3.2 半线性偏微分方程的全局稳态分支定理
• 3.3 稳态分支定理在捕食与被捕食系统中的应用
• 3.4 本章小结
• 第4章 图灵分支
• 4.1 引言
• 4.2 半线性偏微分方程的图灵不稳定性
• 4.3 CIMA 化学反应的Lengyel-Epstein 系统的图灵分支
• 4.4 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间所发表的论文
• 致谢
• 个人简历