整数完全正矩阵及其应用

论文摘要

完全正问题研究源于1961年,其应用涉及不等式理论、统计学、组合设计、线性经济模型等。给定一个n阶元素为非负整数的矩阵A,A称为整数完全正,如果存在一个n×m阶非负整数矩阵B,使得A=BBT成立。若B是（0,1）-矩阵,则A称为一个{0,1}-完全正矩阵,并简记A为{0,1}-cp。对应B的最小可能的列数m称为A的整数完全正指数,类似定义{0,1}-指数。此时若B的每列恰含有r个1,则称该分解是r-一致分解。如果对每个非零、非负n阶对角矩阵D,矩阵A-D非{0,1}-cp矩阵,则称{0,1}-cp矩阵A为最小{0,1}-cp。记cprankZ+A和cprank{0,1}A分别为A的整数完全正指数和{0,1}-完全正指数,缩写为rankZ+A和rank{0,1}A。 判断整数完全分解（或{0,1}-cp分解）的存在性,即给定一个矩阵A,判断A是否为整数完全正矩阵（或{0,1}-cp矩阵）为NP-hard问题,至今为止它仍然是个公开性难题,而求分解指数更是一个挑战。 本论文分为四章。第一章主要介绍整数完全正背景知识和它的应用,特别详细地介绍它在区组设计中的应用。第二章从整数完全正矩阵的定义出发讨论了一般整数完全正矩阵的性质。第三章考虑低阶整数完全正矩阵（阶数nζ 4）。首先我们给出了低阶矩阵（nζ4）的整数完全正分解（或{0,1}-cp分解）的有关结论以及其分解指数的刻画。我们证明了n=2,3时,A=[aij]∈Z+n×n为完全正的充要条件;对于n=4时,我们对几类特殊情形进行了讨论。最后我们还考虑了一些特殊类型的整数完全正矩阵（或{0,1}-cp矩阵）和它们的性质。在第四

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• 记号
• 第一章 引言
• 1.1 背景知识
• 1.2 整数完全正矩阵的应用
• 第二章 一般整数完全正矩阵
• 第三章 {0，1}-完全正矩阵
• 3.1 一般{0，1}-完全正矩阵结果
• 3.2 阶数小于3的{0，1}-完全正矩阵
• 3.3 阶数为4与一些特殊类{0，1}-完全正矩阵
• 第四章 一致和最小{0，1}-完全正矩阵
• 4.1 一致{0，1}-完全正矩阵
• 4.2 最小{0，1}-完全正矩阵
• 4.3 {0，1}-完全正分解指数的一些界
• 参考文献
• 致谢
• 攻读学位期间发表的学术论文目录