论文摘要
本文分四章：第一章为引言；第二章主要研究带耗散项的浅水波方程的Cauchy问题的局部解的存在唯一性；第三章对带耗散项的浅水波方程进行先验估计，并通过先验估计来证明第二章所述问题的整体解的存在唯一性；第四章讨论第二章所述问题解的渐近性和爆破．具体情况如下：在第二章中，我们研究如下一类带耗散项的浅水波方程的Cauchy问题的局部解的存在唯一性，其中α，δ>0为常数，未知函数u（x，t）是指x方向上的流体速度．函数g（u）是u的已知函数，φ（x）为已知的初值函数．为此，注意到I-（?）x2在Hs（R1）上是可逆算子，我们将对（1．1）等价变形为：我们将先证明热传导方程的Cauchy问题的局部解存在唯一性，然后利用压缩映像原理，来证明问题（1．5）的局部解的存在唯一性，从而可得问题（1．1）的局部解存在唯一．其主要结论如下：定理2．1．设φ∈Hs（s≥1），g∈Ck（R1），k=[s]-1，且g（0）=0，则问题（1．5）存在唯一的局部解u（x，t）∈C（[0，T0）；Hs)，其中[0，T0)是解存在的最大时间区间．且若则T0=∞．定理3．1．假定φ∈Hs（s≥1），g∈Ck（R1），g（0）=0，k=[s]+1，u∈C（[0，T0）；Hs)是Cauchy问题（1．5）的解，若则T0=∞．定理3．2．设φ∈Hs（s≥1），g∈Ck（R1），k=[s]+1，g（0）=0，则Cauchy问题（1．5）存在唯一的整体解u（x，t）∈C（[0，∞）；Hs)定理4．1．设φ∈Hs（s≥1），g∈Ck（R1），k=[s]+1，g（0）=0，则Cauchy问题（1．5）的解u（x，t）∈C（[0，∞）；Hs)具有渐近性定理4．2．（1）假定φ∈Hs（s≥（7/2）），g∈Ck（R1），k=[s]-1，g（0）=0，存在（?）∈R1使得，则问题（1．5）的解u（x，t）∈C（[0，∞）；Hs)在有限时刻T1爆破，即其中．（2）假定φ∈Hs（s≥（3/2）），g∈Ck（R1），k=[s]，g（0）=0，存在（?）∈R1使得，若在某有限时刻T2附近有（I-（?）x2）-1ux5≥0，则问题（1．5）的解u（x，t）∈C（[0，∞）；Hs)在有限时刻T2爆破，即其中．