向量优化理论及相关问题的研究

论文摘要

向量优化理论是优化理论和应用的主要研究领域之一。对这一问题的研究涉及到凸分析、非线性分析、非光滑分析、偏序理论等多门学科。同时它在经济分析、金融管理、工程设计、生态保护、军事决策等领域有着广泛的应用。因此向量优化理论的研究既具有重要的理论价值也具有实际应用意义。本文主要研究向量优化理论中四个方面的内容：即向量值映射的广义凸性；向量优化问题的近似解；向量优化问题的最优性条件与对偶性；向量变分不等式等。本文主要工作如下：第一章,概述了向量优化理论的研究意义及发展概况,由此阐述了本文的选题动机和主要工作。介绍了本文研究所需的一些基本概念和相关理论。第二章,在Banach空间中引入了ε-锥次预不变凸函数的概念,研究了它与相关的锥凸性、锥次凸性、锥预不变凸性之间的关系。给出了ε-锥次预不变凸函数的一些性质。在ε-锥次预不变凸性假设下,得到了向量优化问题近似有效解的最优性条件,建立了近似有效解的对偶定理。第三章,在Banach空间中引入了一类新的广义向量值弧连通函数,称之为ε-次弧连通函数。给出了ε-次弧连通函数的一些性质,研究了具有ε-次弧连通性的向量优化问题近似有效解的最优性条件和对偶性。第四章,研究了Asplund空间中向量优化问题近似有效解和近似拟有效解的Lagrange乘子法则。首先,在目标空间中序锥内部非空的情况下,应用分离函数作为标量化函数,建立了带集合约束的向量优化问题与标量优化问题之间的关系,进而分别应用极限次微分和Frechet次微分,得到近似有效解和近似拟有效解的Lagrange乘子型最优性必要条件。其次,在目标空间中序锥内部是空集的情况下,应用有向距离函数作为标量化函数,建立了带锥约束的向量优化问题与标量优化问题之间的关系,进而得到了此种情况下的近似有效解和近似拟有效解的Lagrange乘子型最优性必要条件。最后,我们应用前面得到的部分结果,研究了向量变分不等式问题。通过建立向量优化问题与向量变分不等式之间的关系,给出了向量变分不等式解的性质。第五章,研究了向量优化问题的近似拟有效解。根据函数在一点的Gateaux可微性给出了向量优化问题近似拟有效解的最优性必要和充分条件。引入了近似Mond-Weir型对偶模型,给出了对偶定理。第六章,研究了向量变分不等式解的存在性及向量变分不等式与向量优化问题之间的关系。首先,引入了εe-松弛伪单调性（弱于伪单调性）,在εe-松弛伪单调性假设下,给出了向量变分不等式和弱向量变分不等式解的存在性定理,同时也得到了两类近似向量变分不等式的可解性结果.其次,利用罚函数的思想,建立了向量似变分不等式与一类向量优化问题之间的关系。第七章,利用上Dini方向导数引入了不可微伪不变凸函数的概念,给出了这类伪不变凸函数的一些性质,得到了不可微伪不变凸优化问题解集的一些新刻画。并且通过建立新凸性下似变分不等式与优化问题之间的关系,给出了似变分不等式解集的刻画。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 符号说明
• 第一章 绪论
• 1.1 向量优化问题的研究意义
• 1.2 向量优化问题的发展及研究现状
• 1.2.1 向量值映射广义凸性的研究
• 1.2.2 向量优化问题近似解的研究
• 1.2.3 向量优化问题最优性条件与对偶理论的研究
• 1.2.4 向量变分不等式的研究
• 1.3 本文选题动机和主要工作
• 1.4 预备知识
• 第二章 ε-锥次预不变凸函数及在向量优化中的应用
• 2.1 引言和预备知识
• 2.2 定义和例子
• 2.3 ε-锥次预不变凸函数的性质
• 2.4 ε-锥次预不变凸向量优化问题的最优性条件
• 2.5 ε-锥次预不变凸向量优化问题的对偶性
• 第三章 广义弧连通函数及在向量优化中的应用
• 3.1 引言
• 3.2 预备知识
• 3.3 定义和基本性质
• 3.4 广义弧连通向量优化问题的最优性条件
• 3.5 广义弧连通向量优化问题的对偶性
• 第四章 向量优化问题近似解的Lagrange乘子法则
• 4.1 引言
• 4.2 预备知识
• 4.3 带集合约束向量优化问题近似解的Lagrange乘子法则
• 4.4 带锥约束向量优化问题近似解的Lagrange乘子法则
• 4.5 在向量变分不等式中的应用
• 第五章 向量优化近似拟有效解的最优性条件和对偶性
• 5.1 向量优化近似拟有效解的最优性条件
• 5.2 向量优化近似拟有效解的近似Mond-Weir型对偶问题
• 第六章 向量优化问题与向量变分不等式
• 6.1 引言和预备知识
• 6.2 广义单调性
• 6.3 向量变分不等式解的存在性
• 6.4 向量优化问题与向量变分不等式之间的关系
• 第七章 优化问题解集的刻画
• 7.1 引言
• 7.2 预备知识
• 7.3 伪不变凸性
• 7.4 伪不变凸优化问题解集的刻画
• 7.5 变分不等式解集的刻画
• 第八章 结论与展望
• 8.1 本文的主要结果
• 8.2 有待研究的问题
• 参考文献
• 作者攻读博士学位期间发表和完成的学术论文
• 致谢