QF环的研究

论文摘要

Quasi-Frobenius（QF）环起源于上世纪初Frobenius代数的研究。QF环已具有的美妙刻画吸引着众多环论专家展开深入的研究，并已有相关著作问世。在QF环的研究过程中，涌现出许多悬而未决的问题，例如Faith-Menal猜测：右noetherian、左FP-内射环为QF环。QF环的研究已成为近期国际代数学界研究的热点。 本文通过强Goldie维数、small内射性、极小内射性、单内射性等内射性及链条件给出了QF环的新刻画，同时给出了Faith-Menal猜测成立的一些新条件。这些结果改进了Wisbauer、Nicholson、Yousif、Osofsky、Chen、Zhou等人的结果。 通过商模Goldie维数的上确界引入模的强Goldie维数，并给出了强Goldie维数为n的模的性质刻画。同时用该维数给出了artinian环的一个新刻画。在研究过程中还意外证明了：如果环R为右F-内射环，则R为semilocal环当且仅当R为右有限维环。改进了2001年Nicholson与Yousif的结论：如果环R为右FP-内射、右Kasch环，则R为semilocal环当且仅当R为右有限维环。（由定义知右FP-内射环必为右F-内射环） 通过对环的small内射性的研究，进一步揭示了small内射性与其他内射性之间的联系。证明了如果R为semilocal环，则R为右small内射环当且仅当R为右白内射环；R为右单内射环当且仅当R为右单J-内射环。极大改进了2004年Yousif与Zhou的结果，将他们的条件由“serniperfect环、Sr（?）essRR”减弱至“semilocal环”（serniperfect环=semilocal环+幂等元模J可提升）。并由此得如果R为左perfect、左右small内射环，则R为QF环。改进了1966年Osofsky的结论：如果R为左perfect、左右自内射环，则R为QF环。（右自内射环（?）右small内射环） 通过对特定条件下环的Jacobson根J的幂零性的研究证明了：如果R为左P-内

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 课题背景与发展概况
• 1.2 本文研究结构与主要结论
• 1.3 基本定义
• 1.4 符号说明
• 第二章 强Goldie维数
• 2.1 定义的引入
• 2.2 强有限维模的性质刻画
• 2.3 Artinian环的一个新刻画
• 2.4 强Goldie维数的一个应用
• 2.5 强有限维模的一个判别法则
• 2.6 本章小结
• 第三章 Small内射环
• 3.1 定义的引入
• 3.2 性质
• 3.3 Small内射性与其它内射性的联系
• 3.4 Small内射环的扩张
• 3.5 本章小结
• 第四章 Faith-Menal猜测
• 4.1 背景介绍
• 4.2 Johns环与强Johns环的性质
• 4.3 猜测成立的若干新条件
• 4.4 本章小结
• 第五章 QF环新的性质刻画
• 5.1 左P-内射、左CS环
• 5.2 极小内射环与单内射环
• 5.3 Small内射环
• 0-内射环'>5.4 N₀-内射环
• 5.5 本文所得QF环新的性质刻画总结
• 参考文献
• 附录一 攻博期间完成论文列表
• 附录二 学术活动
• 附录三 个人简历
• 附录四 致谢