非对称不定二阶椭圆边值问题多重网格方法收敛性

论文摘要

本文研究了二阶椭圆边值问题协调有限元多重网格方法V-循环的收敛性。关于对称正定椭圆边值问题已经有许多完善的研究成果,本文研究了对称正定椭圆边值问题的误差衰减情况。将协调有限元空间分解成高频子空间与低频子空间的直和,从而将误差的衰减变化转化为考虑高、低频子空间上的误差的高频与低频分量的衰减变化。进一步观察出误差在正交子空间上经光滑迭代和粗网格校正后的磨光效果关系式,并估计出收敛因子是小于1 的。第二章的内容就是在此背景下进行研究的,着重研究了在网格函数空间的正交子空间上,误差的磨光效果、误差的衰减程度和收敛性分析。协调有限元多重网格法近似解对称正定椭圆边值问题,往往要对解,光滑子作一定的正则性、逼近性假设,在无正则性弱假设条件的前提下,我们直接推导误差减少算子的收敛关系式,第三章主要分析了对称正定椭圆边值问题的多重网格V-循环收敛性。本文主要考虑低阶项的系数不是很大的情况下的非对称不定椭圆边值问题。基于文献[6]中提出的对称正定算子的扰动格式的基础上,第四章建立了类似文献[8][22]的误差减小算子,构造了一个新的误差减少算子的扰动关系式,结合给出的假设和引理,比较简洁地分析了非对称不定二阶椭圆边值问题的V-循环收敛性。在无正则性假设条件下,以Richardson 为迭代格式,分析了非对称不定二阶椭圆边值问题多重网格方法收敛性。在第五章中,通过建立一定的弱假设,推导了一些重要的定理,证明了在无正则性假设前提下非对称不定二阶椭圆型边值问题多重网格V-循环是收敛性。

论文目录

• 第一章 引言
• 1.1 多重网格方法的研究概况
• 1.2 多重网格方法的基本思想
• 1.3 作者的工作
• 1.4 内容安排
• 第二章 多重网格方法误差迭代分析
• 2.1 迭代法的误差衰减与光滑作用
• 2.2 网格函数空间正交分解
• 2.3 误差迭代分析
• 2.4 收敛性分析
• 第三章 对称正定椭圆型边值问题多重网格方法收敛性
• 3.1 有限元多重网格算法
• 3.2 多重网格方法算子符号介绍
• 3.3 一些重要的性质
• 3.4 无正则性椭圆型边值问题多重网格方法
• 第四章 非对称不定椭圆型边值问题多重网格方法收敛性
• 4.1 非对称不定问题求解概况
• 4.2 有关概念
• 4.3 算法和误差减少算子的推导
• 4.4 收敛性
• 第五章 无正则性假设非对称不定椭圆边值问题的收敛性
• 5.1 椭圆边值问题
• 5.2 多重网格算法
• 5.3 假设与重要定理
• 5.4 V 循环收敛性
• 参考文献
• 致谢
• 个人简历
• 主要研究成果