论文摘要
近半个世纪以来,图谱理论的形成和发展已成为图论研究的重要领域之一,也是一个非常活跃的研究方向,它在量子化学、物理、计算机科学、通信网络及信息科学中均有广泛的应用.它也与图的其它一些不变量（如色数,度序列,直径,连通度等）联系紧密.图谱理论所研究的对象主要包括图的邻接谱,Laplace谱,Q-谱,C-谱,S-谱,其中对邻接谱,Laplace谱的研究最为普遍.在许多应用中,往往需要Laplace谱半径的好的上下界估计值.本文围绕一般简单连通无向图主要研究了图谱理论中的三个重要课题,这三个重要课题一是图的Laplace谱,二是图的邻接谱,三是几类图谱之间的关系.文章的四个主要部分集中反映了作者以下几个方面的一些研究结果:1、利用矩阵分拆技巧将一个矩阵分拆为两个矩阵的和的形式,并利用著名的Weyl定理给出了图和线图的邻接谱之间的关系.这个结论将已有的关于图和线图的邻接谱半径之间的关系推广到了图和线图的邻接矩阵的所有特征值.此外,利用同样的方法本文也给出了图的邻接矩阵的特征值与图的Laplace特征值之间的关系.2、利用图G中以顶点v为终点的长度为2的路的条数就是与v相邻的顶点的度数的和这一关系,给出了简单无向图的Laplace谱半径的两个新的界限.并用实例验证了对于某些图来说本文的结果比以往的一些结果更精确.另外,本文利用最小覆盖数给出了图的Laplace谱半径的两个新的界限.3、利用代数方法及微积分中函数的极值条件,本文对图及其补图的Laplace谱半径之和（即Nordhaus-Gaddum类型谱半径）的上界进行了估计,并由此得出了两个新的上界.并用实例说明了对于某些图来说本文的结果比以往的一些结果更精确.此外,本文也估计出了图的Laplace谱半径和它的代数连通度的差的一个新的上界以及图及其补图的Laplace谱半径之积的一个新的上界.