Lévy型算子的遍历性及其相关问题

论文摘要

本文研究一般Lévy型算子的遍历性及其相关问题,分成五部分。第一部分,我们给出一维Lévy型算子常返、正常返和指数遍历的充分条件。这些条件建立在同扩散算子的比较和广义生成元的Lyapunov条件基础上。根据Lévy测度的范围和可积条件,我们对充分条件进行了分类。同时,举例来说明这些条件的有效性,包括分数式Laplace算子和一般Ornstein-Uhlenbeck型算子。第二部分首先叙述一般Lévy型算子的两种典型表示形式,即积分微分算子表示和拟微分算子表示。利用这两种形式,我们得到Lévy型算子非爆炸和常返的充分条件。特别地,我们的结果推广了Chung-Fuchs关于Lévy过程的常返性准则。进一步,我们也给出Lévy型算子Feller连续的充分条件。在考虑遍历性问题时,对称马氏过程是重要的一类。因此我们需要研究马氏过程无穷小算子在L2意义下的对称性问题。第三部分,我们得到了一般Lévy型算子具有对称测度的充分条件,并且构造出一些新的对称Lévy型算子的例子。第四部分考虑一维对称Lévy型算子（带Dirichlet边界）的Poincaré不等式。我们运用了一般对称马氏过程的主特征值变分公式和经典的Hardy不等式给出充分条件;运用了关于单调下降函数的Hardy不等式得到必要条件。另外,我们还给出一些有意思的例子和问题。在研究对称Lévy型算子时,判定何时Poincaré不等式成立是我们关心的问题之一.然而,正如我们在前几部分看到,这个问题的研究通常是不容易的。在最后部分,我们主要是建立泛函不等式和Lyapunov条件之间的关系。更精确地说,我们可以从经典的Lyapunov条件直接推出泛函不等式。这个途径对研究一般对称马氏过程同样适用,同时也沟通了第一部分与第四部分之间的联系。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 0 综述
• 0.1 背景介绍
• 0.2 一维Lévy型算子遍历性的判别条件
• 0.3 Lévy型算子的稳定性和Feller连续性
• 0.4 对称Lévy型算子
• 0.5 一维对称Lévy型算子的Dirichlet主特征值
• 0.6 从Lyapunov条件到Poincaré不等式
• 1 Summary
• 1.1 Introduction of Backgrounds
• 1.2 Criteria for Ergodicity of Lévy Type Operators in Dimension One
• 1.3 Stability and Feller Continuity of Lévy Type Operators
• 1.4 Symmetric Lévy Type Operators
• 1.5 Principal Dirichlet Eigenvalue for One-dimensional Symmetric Lévy Type Operators
• 1.6 From Lyapunov Conditions to Poincaré Inequalities
• 2 Criteria for Ergodicity of Lévy Type Operators in Dimension One
• 2.1 Introduction and Main Results
• 2.2 Meyn-Tweedie's Approach and Proofs of Theorems
• 2.3 Comments and Examples
• 3 Stability and Feller Continuity of Lévy Type Operators
• 3.1 Two Expressions for Lévy Type Operators
• 3.2 General Results and Proofs
• 3.3 Feller Continuity
• 4 Symmetric Lévy Type Operators
• 4.1 Symmetric Measure for Lévy Type Operators
• 4.2 Decomposition Method to Prove Theorems
• 4.3 Regularity of Dirichlet Forms
• 5 Principal Dirichlet Eigenvalue for One-dimensional Symmetric Lévy Type Operators
• 5.1 Introduction and Main Results
• 5.2 Hardy Inequalities Method
• 5.3 Variational Formula Method
• 5.4 Examples
• 5.5 Relation to q-Processes
• 6 From Lyapunov Conditions to Poincaré Inequalities and Applications to Symmetric Lévy Type Operators
• 6.1 Lyapunov Conditions and Functional Inequalities
• 6.2 General Results and Proof of Theorems
• 6.3 Applications
• 6.4 Appendix
• References
• 致谢
• 作者简介