一类流体动力学方程组的渐近极限问题

论文摘要

本文主要通过摄动理论的带小参数的渐近展开方法,结合古典能量方法,研究了Rayleigh-Bénard对流模型及其极限形式无穷Prandtl数模型之间的关系.由两个平行平面限制,从下部加热的Rayleigh-Bénard对流模型可以用Boussinesq方程组来比较精确地描述. Boussinesq方程组由一个关于流体速度场的不可压Navier-Stokes方程加与温度成比例的浮力项,一个水平对流扩散方程,以及边界条件和初始条件组成.无量纲化后可以将Boussinesq方程组看作是含小参数ε的非线性微分方程组.在无穷Prandtl数极限模型中,只需给定温度场的初值,而在Boussinesq方程组中,速度场和温度场的初值必须都得给定.且一般来说,当小参数ε→0时,后者的速度场初值不趋向于前者的速度场初值.因此,这是一个含有初始层的奇异极限问题.王晓明通过有效动力系统对这个问题进行了比较详细的研究,得到了Ο（ε）的收敛速度.本文在此基础上通过摄动理论的渐近展开方法,结合古典能量方法得到了更进一步的结果.通过将近似解分解为外函数（t >0）和初始层函数（ t =0附近）,证明了渐近解的收敛性,并得到了收敛速度Ο(ε3/2)和最佳收敛速度Ο（ε2）.另外,当Boussinesq方程组取特殊初值,使得当ε→0时,它的初值正好趋向于极限模型的初值,这时初始层消失.并通过渐近展开方法,古典能量方法,嵌入定理等证明了此时的N阶近似解在Hs范数意义下也是收敛的,且有收敛速度Ο(εN+1).

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 引言
• 1.1.1 Rayleigh-Bénard对流模型介绍
• 1.1.2 Rayleigh-Bénard对流模型的研究现状
• 1.1.3 研究Rayleigh-Bénard对流模型的意义
• 1.2 模型处理
• 1.3 课题简述
• 第2章 主要结果
• 2.1 一般初值
• 2.2 特殊初值
• 第3章 一般初值情形
• 3.1 构造近似解
• 3.1.1 外部展开
• 3.1.2 初始层函数展开及衰减性分析
• 3.1.3 近似解
• 3.2 收敛性的证明
• 3/2)'>3.2.1 收敛速度Ο(ε^3/2)
• 2）'>3.2.2 最佳收敛速度Ο（ε²）
• 3.3 本章小结
• 第4章 特殊初值情形
• 4.1 一阶近似解及收敛性分析
• 4.1.1 一阶近似解
• 2）'>4.1.2 收敛速度Ο（ε²）
• 4.2 N阶近似解及收敛性分析
• 4.2.1 N阶近似解
• N+1)'>4.2.2 收敛速度Ο(ε^N+1)
• s 估计'>4.2.3 误差函数的H^s估计
• 4.3 本章小结
• 结论与展望
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表的学术论文
• 致谢