相机权益评价的数值算法研究

论文摘要

相机权益是一种特殊的金融合同。如果市场是完备的,并允许无套利交易策略,那么,存在等价鞅测度,使得任意的相机权益都能够作为适当的条件期望来计算。如果难以找到解析形式的条件期望公式,那么就要用到数值方法。无论是金融期权,还是实物期权,都是相机权益的的具体形式。随着金融理论的不断发展和完善,相机权益的数值算法研究变得越来越重要。而且数值算法研究已经成为联系金融理论和金融实践的重要桥梁。本文重点研究了美式类型相机权益定价的若干数值算法。具体地,本文的主要结果如下:方法一:将二项式模型扩展为三项式模型,建立了基于单个基础资产相机权益的三项式模型,通过设定新的参数,将标准的三项式对称形式扩展成一般的非对称形式,获得了单资产三项式相机权益定价的风险中性概率:命题1:在时间区间[t , t +Δt]上,用如下的离散随机变量ξα（t ）来逼近连续随机变量ξ（t ）,并设离散随机变量ξα（t ）服从如下分布列:其中δ比例常数, p1 + p2 + p3 =1,则风险中性概率分别为忽略高阶项o（Δt ）,风险中性概率重写为方法二:依赖于多个不确定源的相机权益的评价也是一个重要的问题,利用基于两基础资产相机权益的多项式模型,引进两个新的参数,修改多项式对称模型为非对称模型,推导出基于两基础资产相机权益定价的风险中性概率:命题2:假设两种基础资产价格对数变化满足特定形式,对于两连续随机变量对{ξ1 （ t ）,ξ2（t ）},用离散随机变量对{ξ1α,ξ2α}来逼近连续随机变量对{ξ1（ t ）,ξ2（t ）},且要求离散随机变量对{ξ1α,ξ2α}有下表所示的联合分布列:其中取vi=λiσi（Δt）1/2, i = 1,2, p1 + p2 + p3 + p4 + p5 =1,当Δt→0时,则写在两基础资产价格对数变化上的相机权益的风险中性概率为:基于两资产的多项式风险中性概率技术具有一般性,两资产以上的多资产情形可以仿此方法推导。方法三:利用基本的有限差分数值算法技术,在保证算法的稳定性和收敛性的前提下,给出了相机权益定价的随机波动率状态有限Markov链方法,既避免了二项式概率树的波动率状态无限增加问题,也避免三项式或多项式网格法波动率最大最小取值问题,重要的是还能有效地计算欧式权益和美式权益。命题3:在风险中性世界里,具有有限Markov随机波动率的基础资产价格变化的、由偏微分方程描述的美式相机权益（期权）,当时间和空间划分满足R （h ,τ） = O（τ+ h2）的精度时,按如下方法可计算出0时刻的美式期权价值:首先用SOR技术求解方程组, j = N- 1,计算出该时间层上的期权理论值;再计算出Fi,jl,并与fi,jl（= EX- i·h）进行比较:（1）如果Fi,jl≤fi,jl（ = EX - i·h）,则立刻执行期权,获得立刻执行期权的较大的收益Fi,j = fi,jl（= EX - i·h）(因为继续持有期权所得的Fi,jl较小);（2）如果Fi,jl > fi,jl（= EX - i·h）,则继续持有期权,获得持有期权的期望收益;即Fi,j = max { fi,jl（= EX - i·h） , Fi,jl};照此方式计算,分别取j = N-2, N-3…1, 0,可获得各时刻的期权值,直到最后得t = 0时刻的期权值其中必有一个Fi ,0对应当前标的资产价格S = i·h,则此Fi ,0即为所求的美式Put价值。其中Fi ,jl有具体表达式给出。方法四:在基本的Monte Carlo随机模拟方法基础上,给出了采用最小均方技术的Monte Carlo随机模拟LSM算法,使该方法能够有效地应用于美式类型相机权益价值的计算。再结合上章提出的具有Markov链随机波动率的美式权益定价方法,为其他许多类型相机权益定价的数值计算提供了理论和技术支撑。命题4:对于任何有限的M和K ,设LSM （ S t （ω）,σi; M , K ）为基础资产价格变化的波动率为σi的、遵从LSM执行规则的折现现金流,那么在风险中性世界里,写在具有有限Markov随机波动率的基础资产上的美式期权在时刻t的价值为其中F （ S t ;σi）为t时刻、股票价格为S t、执行价为EX、到期日为T、无风险利率为r、波动率为σi的美式权益价值。方法五:尽管基础资产价格运动服从分数Brown运动（FBM）的相机权益的定价理论还不完善,但大量的实证研究支持FBM假设,金融市场时间回报序列具有自相似的分形特征。数值模拟提供了重要的研究途径。命题5:对于任何有限的M和K ,设FBM LSM （ S t （ω）,σi; M , K ）为基础资产价格变化的波动率为σi的、遵从LSM执行规则的折现现金流,那么在风险中性世界里,写在具有有限Markov随机波动率的基础资产上的美式期权在时刻t的价值为其中F （ S t ;σi）为t时刻、股票价格为S t、执行价为EX、到期日为T、无风险利率为r、波动率为σi的美式权益价值。借助基于FBM的最小均方Monte Carlo随机模拟FBMLSM方法,获得了重要的结论:与常见的基于几何Brown运动的基础资产价格运动相比较,基于FBM的基础资产价格的运动或者更剧烈（当H∈（1, 1/2）时）,或者更平滑（当H∈（1/2, 1）时）;与基于几何Brown运动基础资产价格的相机权益的价值相比较,基于FBM的基础资产价格的相机权益价值或者更高（当H∈（1, 1/2）时）,或者更低（当H∈（1/2, 1）时）。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 金融分析理论发展概述
• 1.3 研究的背景及意义
• 1.4 研究内容与文章的结构
• 1.5 本章小结
• 2 相机权益分析理论基础
• 2.1 引言
• 2.2 基于几何Brown 运动的相机权益定价理论
• 2.3 有关参数的说明
• 2.4 本章小结
• 3 相机权益的多项式方法
• 3.1 引言
• 3.2 相机权益的二项式方法
• 3.3 相机权益的三项式方法
• 3.4 多资产模型的多项式方法
• 3.5 本章小结
• 4 随机波动率美式权益的有限差分方法
• 4.1 引言
• 4.2 有限差分方法理论
• 4.3 美式权益的基本假设
• 4.4 随机波动率的美式权益评价方法
• 4.5 算法步骤与示例
• 4.6 稳定性分析
• 4.7 本章小结
• 5 美式权益的Monte Carlo 随机模拟方法
• 5.1 引言
• 5.2 相机权益定价的Monte Carlo 随机模拟方法
• 5.3 最小均方Monte Carlo 随机模拟方法
• 5.4 算法设计与计算实例
• 5.5 本章小结
• 6 基于分数Brown 运动的随机模拟方法
• 6.1 引言
• 6.2 分数Brown 运动相机权益的基础理论
• 6.3 分数Brown 运动相机权益的随机模拟
• 6.4 计算示例与结果分析
• 6.5 本章小结
• 7 全文总结
• 致谢
• 参考文献
• 附录I 攻读学位期间发表的论文