Nevanlinna四值定理及其相关唯一性问题

论文摘要

上世纪20年代，芬兰数学家Rolf Nevanlinna建立了的该世纪最为重要的数学理论之一，复平面C上的亚纯函数的值分布理论，即通常因纪念他而被称之为的Nevanlinna理论．该理论主要由两部分组成，即Nevanlinna第一及第二基本定理，并且后者显著地推广了Picard小定理．因此，Nevanlinna理论不仅是经典函数论发展史上的一个里程碑．而且还标志着现代亚纯函数理论的开端．在随后的八十年里．Nevanlinna理论不但自身不断地发展完善．而且还被广泛地应用于亚纯函数的唯一性、正规族、复动力系统以及复微分方程等诸多理论的研究上面．与此同时，以复（流型）几何以及代数几何理论为主要代表的现代高维复分析也以突飞猛进的速度不断发展，随之而来的是定义在m维复欧式空间Cm及特殊复流型上的亚纯映照理论的飞速发展．另一方面，自上世纪后半叶起．p-adic域．即非Archimedean域，上的函数分析理论也进展地很快．鉴于Nevanlinna理论的精确及优美，很多复（流型）几何、代数几何以及数论等领域中杰出的数学家，如L．Ahlfors、H.Cartan、H．Weyl、J．Weyl、S．S．Chern、W．Stoll、H．Wu、Y．T．Siu、P．Griffiths、J．King、J．Carlson、MCowen、A．Vitter、B．Shiffman、H．Fujumoto、J．Noguchi、S．Lang、P．Vojta、P．M．Wong、M．Ru、W．Cherry、Z．Ye以及K．Yamanoi等，分别创立并且不断完善发展了定义在特殊复流型或p-adic域上到射影（代数）簇的全纯曲线及亚纯映照的值分布理论．特别地，作为这些美妙而精深理论的特殊情况，我们分别可以相应地得到定义在Cm或p-adic域上的亚纯函数的值分布理论．1929年，Rolf Nevanlinna利用其自己创立的值分布理论来研究亚纯函数的唯一性问题，即在何种值分布的条件下一个亚纯函数可以被完全确定，并且证明了著名的Nevan-linna五值、四值和三值定理．由此而引发的单变量亚纯函数的唯一性理论被持续系统地研究了近八十年，并且也已经日臻完善．最近，该理论被分别推广为多变量亚纯函数或p-adic域上的亚纯函数的唯一性理论．本文主要包括作者（硕博连读）在导师仪洪勋教授（硕士）及扈培础教授（博士）指导下得到的关于C、Cm及κ（零特征完备非Archimedean代数闭域）上亚纯函数唯一性的结果．其共包含四部分，内容如下：第一章我们主要研究了单变量亚纯函数在涉及到弱分担三个值和一个公共值对的假设下的唯一性问题，所得到的几个结果改进了先后曾被G．G．Gundersen、E．Mues、H．Ueda以及G．Brosch等所研究过的Nevanlinna四值定理．最后，我们还给出了一个与Nevanlinna三值定理密切相关的结果．第二章我们继续进行前面的研究，利用Wiman-Vatiron定理证明了一个关于单变量整函数在与其一阶导数及其有理系数线性微分多项式共享一个非零多项式的条件下的唯一性定理，推广了许多已知的结论．第三章我们讨论了一个相对独立的问题，即涉及到公共值集合的多变量亚纯函数的唯一性问题，找到了一类总共包含六个互异元素的三重唯一性象集．另一方面．我们还构造了一个用来限制下界的例子，把最近由P．C．Hu-C．C．Yang所得到的一个估计C3（M（Cm））≤9精确为5≤C3（M（Cm））≤6．我们的证明利用并完善了M．L．Fang在研究单位圆内相关问题时的一个结果．第四章我们系统地考虑了κ（零特征完备非Archimedean代数闭域）上的亚纯函数在与其小函数系数线性微分多项式分担两个有穷值的条件下相等的问题，并且讨论了κ上线性微分方程整体亚纯解的存在性．

论文目录

• 中文部分
• 摘要
• 英文摘要
• 第一章 Nevanlinna四值定理
• §1.1 Nevanlinna理论基本知识
• §1.2 背景知识及主要结果
• §1.3 主要引理的介绍及其证明
• §1.4 定理1.1的证明
• §1.5 几个相关的结果
• §1.6 Nevanlinna三值定理
• 第二章 整函数与其导数分担一值时的唯一性问题
• §2.1 背景知识及主要结果
• §2.2 几个引理及其证明
• §2.3 定理2.1的证明
• 第三章 多变量亚纯函数的三重唯一性象集
• §3.1 背景知识及主要结果
• §3.2 预备知识及几个引理
• §3.3 定理3.1以及推论3.2的证明
• 第四章 p-adic亚纯函数与其导数分担二值时的唯一性问题
• §4 1 p-adic亚纯函数值分布理论的基本知识
• §4.2 背景知识及主要结果
• §4.3 定理4.1的证明
• §4.4 定理4.2的证明
• §4.5 更为广泛的一种情况
• §4.6 关于p-adic线性微分方程解的几点说明
• 参考文献
• 符号
• 攻读博士学位（硕博连读）期间发表以及接收论文歹U表
• 学位论文评阅及答辩情祝表
• 英文部分
• Abstract
• Symbols
• Chapter 1 On Nevanlinna's four-value theorem
• §1.1 Basics of Nevanlinna theory
• §1.2 Introduction and main results
• §1.3 Some lemmas
• §1.4 Proof of Theorem 1.1
• §1.5 Some closely related results
• §1.6 On Nevanlinna's three-value theorem
• Chapter 2 On the unicity of entire functions related to their derivatives
• §2.1 Introduction and main result
• §2.2 Some lemmas
• §2.3 Proof of Theorem 2.1
• Chapter 3 On unique range sets of meromorphic functions with several variables
• §3.1 Introduction and main results
• §3.2 Preliminaries
• §3.3 Proof of main results
• Chapter 4 On the unicity of p-adic meromorphic functions over κ and their derivatives
• §4.1 Basics of p-adic value distribution theory
• §4.2 Introduction and main results
• §4.3 Proof of Theorem 4.1
• §4.4 Proof of Theorem 4.2
• §4.5 A more general case
• §4.6 Final notes
• Bibliography
• Acknowledgement
• Publications&accepted papers during Ph.D.Studies
• Curriculum Vitae
• 学位论文评阅及答辩情况表