利用最优参数选择方法数值求解微分方程的周期问题

论文摘要

本文主要考虑如下微分方程周期问题：其中x（t）=（x1（t），…，x2（t））T是Rn中的实值向量函数，t是时间变量，T是最小正周期，f（t，x（t））为[0，T]×Rn上连续的向量值函数。在假定问题（1）的周期解已存在且稳定的前提下，探讨一种数值计算方法。在微分方程周期问题的数值求解中，由于初始值的未确定性，不能直接采用常微分方程初值问题的求解法去求解，使得周期问题的数值求解困难。而常微分方程初值问题的数值求解方法发展得比较成熟和完善，例Euler法，Runge-Kutta方法等，本文主要通过引入一个参变量ξ，将微分方程的周期边值问题转化为带参数的初值问题，通过对初值问题和最优参数的选择，达到求解周期解的目的。具体过程如下：首先，对系统（1）我们引入参变量ξ，将问题（1）转化为：其中ξ=（ξ1，ξ2，…，ξn）T∈Rn。定义目标泛函为：J（ξ）=1/2‖x（T）-ξ‖2（3）定义最优参数选择问题（P）：对于系统（2），寻找一个系统参数ξ∈Rn，使得目标泛函（3）达到最小值。最优参数选择问题可以视为非线性规划问题，我们通过计算其目标函数的梯度，将最优参数选择问题变为一个数学规划问题，利用已有数学规划技巧将其解出。论文针对周期己知和未知两种情形，给出相应的算法。同时，论文还讨论了脉冲周期微分系统的计算，如下这时的状态x（t）不是一个连续的过程，不能采用通常方法求解。通过引入变换yi（S）=x(ti-1+(ti+ti-1)s)，0≤s≤1，i=1，2，…，N．将方程组（4）由N个不连续的区间转化为在[0，1]区间上N×n个方程组，从而得到等价的最优参数选择问题（MP2）：寻找参向量ξ*∈Rn，使得（?）（ξ）=1/2‖yN（1）-ξ‖2在ξ*∈Rn处达到最小，即（?）（ξ*）≤（?）（ξ），对（?）ξ∈Rn都成立。针对最优参数选择问题（MP2），论文给出了脉冲周期微分系统求解周期解的算法。最后，我们应用最优参数选择问题软件包，分别就周期已知方程、方程组、周期未知及脉冲微分方程周期问题计算了四个数值例子，说明我们算法的可行性和有效性。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 引言
• 1.1 背景
• 1.2 周期问题的数值计算
• 1.3 本文的结构
• 第二章 预备知识
• 2.1 常微分方程初值问题
• 2.2 最优参数选择问题
• 2.3 最优参数选择问题（P1）的计算
• 2.4 求解方法和数学规划法
• 第三章 利用最优参数选择问题求解周期问题
• 3.1 问题的描述
• 3.2 最优参数选择问题的数值求解方法
• 第四章 脉冲周期系统的最优参数选择问题
• 4.1 脉冲微分方程周期解的最优参数选择问题
• 4.2 等价问题
• 4.3 最优参数选择问题（MP2）的数值求解方法
• 第五章 数值例子
• 5.1 周期微分系统的数值例子
• 5.2 脉冲周期系统的数值例子
• 第六章 论文总结和进一步工作
• 致谢
• 参考文献
• 附录