域上矩阵代数保持k-幂等关系的映射

论文摘要

矩阵代数是代数学的一个重要的分支,它在计算机、图论、经济学、控制论等方面都有许多应用.保持问题是矩阵代数中一个非常有趣的研究领域,而幂等保持问题是其中一类重要的研究课题,幂等保持问题的结果可以用于解决某些物理问题,用于刻画矩阵半群的一般保持问题及李代数上的保持问题.因此,近年来保持问题的研究十分活跃.本文在介绍保持问题的发展概况之后,对矩阵代数上保持k -幂等关系（ k为大于1的整数）的问题进行了系统的研究,主要工作如下:（1）给出了保持k -幂等关系的映射的定义,利用归纳法,刻画了全矩阵代数上保持k -幂等关系的映射.由于k为大于1的任意整数,k的任意性使得该映射的刻画比以往保持幂等的映射的刻画更为复杂,当然,此问题的解决,使得已有的保持幂等关系的映射的相关结果成为本文结果的特例.我们的结果表明全矩阵代数上的保持k -幂等关系的映射的形式是标准的.（2）刻画了n≥3时上三角矩阵代数到全矩阵代数的保持k -幂等关系的映射.由于上三角矩阵代数中可用于刻画的“特征”元素少于全矩阵代数,因而研究的难度加大.所用的方法与前面的全矩阵代数上的方法也有所不同,我们先刻画了3阶上三角矩阵与On-3的直和的方阵的像,利用所得结果回过来再刻画2阶上三角矩阵与On-2的直和的方阵的像,进而确定所有阶数为n上三角矩阵的像.经证明,此映射的形式是标准的.（3）刻画了对称矩阵空间到全矩阵空间保持立方幂等的映射.由于对称矩阵的特殊性,位于（i , j ）与（ j , i ）位置的元素相同,它们的像元素之间必有一定的关系,因而在刻画对称矩阵的像时要弄清楚它们的像元素之间的关系,进而推出映射的最终表达形式.经研究,对称矩阵空间到全矩阵空间保持立方幂等的映射的形式是标准的.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 常用符号
• 1.2 课题背景与发展概况
• 1.3 幂等保持问题
• 1.3.1 全矩阵代数上的幂等保持问题
• 1.3.2 上三角矩阵代数上的幂等保持问题
• 1.3.3 对称矩阵空间上的幂等保持问题
• 1.4 k-幂等保持问题
• 1.5 本文的内容与结构
• 第2章 全矩阵代数的保持k-幂等关系的映射
• 2.1 引言和主要结论
• 2.2 预备引理
• 2.3 主要结论的证明
• 2.4 本章小结
• 第3章 上三角矩阵代数到全矩阵代数的保持k–幂等关系的映射
• 3.1 引言和主要结论
• 3.2 预备引理
• 3.3 主要结论的证明
• 3.3.1 命题3.3.1 的证明
• 3.3.2 命题3.3.2 的证明
• 3.4 本章小结
• 第4章 对称矩阵空间到全矩阵空间保持立方幂等关系的映射
• 4.1 引言和主要结论
• 4.2 预备引理
• 4.3 主要结论的证明
• 4.4 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读学位期间发表的学术论文
• 致谢
• 个人简历