纽结的可视化

论文摘要

纽结理论是数学中的一个分支,研究绳圈(或多个绳圈)在连续变形下保持不变的特性。只有一条简单闭曲线构成的空间图形,称为纽结。由有限多条互不相交的简单闭曲线构成的空间图形,称为链环。组成链环的每一条简单闭曲线称为链环的一个分支,它本身也是一个纽结。纽结在二维平面上的示意图称为纽结的投影,投影在平面上的二重交叉区域称为交叉点。与平面上的圆周等价的纽结,是最简单的纽结,没有交叉点,称为平凡结。纽结理论的基本问题是:任给两个纽结或链环,怎样识别它们是否是相同的。如果一个纽结(或链环)在不剪断,不粘合的情况下,可通过空间变形变成另一个,那么这两个纽结(或链环)是相同的。其中,纽结理论的研究对象是三维空间中的曲线,同痕变形是指纽结在三维拓扑空间中连续变化,不剪断,不与自己交叉等情况下的变形。在本文中,我们将对纽结生成的曲面进行研究。纽结生成的曲面可分为两类:一类是可定向的,另一类是不可定向的,这些曲面都是以纽结作为其边界。其中可定向的曲面称为Seifert曲面,纽结或链环的亏格定义为Seifert曲面的最小亏格。关于这些曲面的介绍可以在纽结理论的资料上查阅到,但是想要真正了解这些曲面的形状和结构,仍然是非常困难的。因此,在这篇文章中,我们将会讨论纽结的可定向曲面和不可定向曲面的可视化算法。纽结生成曲面的可视化对于研究纽结的亏格和同痕不变量的计算都有很大帮助。另外,对化工以及纽结理论的教学,也有很好的促进作用。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 研究背景
• 1.2 科学计算可视化
• 1.2.1 科学计算可视化概述
• 1.2.2 科学计算可视化的内涵
• 1.3 纽结理论
• 1.4 纽结可视化的研究现状
• 1.4.1 国外研究现状
• 1.4.2 国内研究现状
• 1.5 论文的范围和结构
• 1.5.1 研究范围
• 1.5.2 本文的主要工作
• 1.5.3 论文的组织结构
• 第二章 背景知识
• 2.1 纽结的同痕不变量
• 2.1.1 纽结理论的研究主题
• '>2.1.2 尖括号多项式
• 2.1.3 Jones 多项式
• 2.2 纽结的表示方法
• 2.2.1 标准表示法
• 2.2.2 象形表示法
• 2.2.3 Dowker 表示法
• 2.2.4 Gauss 表示法
• 2.2.5 Dowker-Thistlethwaite 表示法
• 2.3 曲面及其亏格
• 2.3.1 曲面的定向
• 2.3.2 曲面的亏格
• 2.3.3 常见曲面的亏格
• 2.4 本章小结
• 第三章 改进的Seifert算法
• 3.1 引言
• 3.2 可视化算法
• 3.2.1 Seifert 算法
• 3.2.2 基于braid 表示法的可视化算法
• 3.3 改进的 Seifert 算法
• 3.4 基于 braid 表示法的可视化算法的效果
• 3.5 可定向闭曲面的亏格
• 3.6 本章小结
• 第四章 不可定向曲面的可视化算法
• 4.1 引言
• 4.2 投影法
• 4.3 纽结的二维可视化
• 4.3.1 部分代码
• 4.3.2 纽结的二维可视化效果
• 4.4 可视化算法
• 4.5 基于投影法的可视化算法
• 4.6 可视化后的效果
• 4.7 不可定向曲面的亏格
• 4.8 本章小结
• 第五章 总结与未来的工作
• 5.1 研究成果
• 5.2 展望
• 致谢
• 参考文献
• 附录：作者在攻读硕士学位期间发表的论文