积分型受限最优控制问题有限元的后验误差估计

论文摘要

偏微分方程最优控制的研究是数学学科中非常鲜活且有生命力的领域,过去三十年来得到了很好的发展.作为数学尤其是应用数学的一个分支,它涵盖了很多领域比如材料设计,晶体增长,化学反应等过程中用到的例如时间控制,回馈控制,流体方程控制,最优形状设计等重要的多种类型的控制问题,相关文献见,[56,73,74,80]。其中涉及到的方程类型既有线性的和椭圆的,又有非线性的和时变的.特别复杂和重要的是,随着科学和工程的发展,我们碰到了具有更重要应用和实际需要的许多线性或者非线性耦合方程组的最优控制问题,相关文献见,[4,36,37].同时由于实际应用中问题的复杂性,以及能用更有效的数学理论来分析这些问题,可见形成更合理更适定的数学模型无疑是非常大的挑战.另一方面,随着计算机的发展和计算能力的提高,在有了问题的数学模型的描述之后,摆在我们面前的第二个任务就是如何采取更有效的数值方法去满足此类问题的计算要求,使得问题的物理过程得到更直观的模拟,从而为实际生产带来更大的帮助或技术的提高.从而,为了检验问题模型正确与否和为进一步的研究提供基础,我们需要在数值方法和相关数学逼近理论分析方面有更快的发展才能保持平衡.众所周知,在当前的科学与工程计算过程中,有限元方法因其自身的优越性使得在众多数值方法中占有了不可替代的位置.有限元方法在偏微分方程最优控制问题中的应用已有很广泛和深入的研究,无沦是在数值计算还是收敛性和误差分析方面的结果都不胜枚举,具体可见,[5,6,33]等.例如,最优控制问题中状态方程为线性时,先验估计在[29]中就已给出.虽然当前科技论文文献中关于最优控制的有限元逼近中快速求解的文章不胜枚举,但是即使对控制受限的线性椭圆控制问题的计算仍然需要深入的研究.原因是最优控制问题的求解仍存在很多计算上的瓶颈问题,其中种种困难错综复杂,相互制约,从而增加了问题的难度.这其中至少有两个关键的问题,首先是最优控制问题如何离散,其次是离散的最优控制问题(有时是KKT系统)如何求解,其求解过程通常需要反复求解状态和对偶状态方程。从已有的研究成果来看,在诸多类型有限元方法的计算中,自适应有限元因其高效性已成为当前科学与工程计算领域内的一个重要课题.为了得到精度更高的数值解,自适应方法的本质正是在于通过后验误差估计得到的估计子作为加密的标准实现其网格的局部加密.它的实现机理是在指示子大的地方进行网格加密,所以在函数正则性较差地方网格点分布较密,正是基于此,指示子对于自适应方法是否有效和可靠是非常重要的标准和依据.关于指示子有很多种,比如残量型,分层类型,基于局部平均就是所谓目标定向的对偶加权方法的类型,函数型误差控制子等,具体可见[3,8,9].从众多相关文献中可以看到偏微分方程的边值问题和初边值问题的自适应计算已经有了很成熟的应用和分析,但是方程的最优控制问题方面,自适应方法的计算还是属于初级阶段,仅有部分类型的相关问题有相关结论.例如,对于控制不受限的问题,目标定向对偶加权方法在文献[13]中给出了分析.控制受限下的控制问题的残量类型的后验估计可见文献[31,41,44,61,62]中的结论.关于自适应网格在计算过程中对有效降低误差方面的结论,相关文献可见[13,14,53,62]等。我们发现在控制有奇性的地方如果网格的分布不合适,将会引起很大的误差而且这种误差在后面的计算中不能消除。这里需要指出的是在最优控制里广泛应用的仅从状态方程推导出的误差指示子用来求解整个控制问题不一定有效,例如在[13]和[53]中给出.所以迫切需要去寻找针对控制问题有效的指示子.在控制受限时,控制和状态有不同的正则性以及各自奇性位置的不同,故放在同一套网格来计算效率较低.进而,对应多套网格的下的后验估计即找出不同变量对应的不同指示子用来调整各自的网格变得非常有必要.同时这也使得多套网格下的自适应计算可以更有效的进行.此方法和思想可用于很多类型控制问题,相关文献见[46,52,47,54]本篇论文是对受限的最优控制问题的残量型自适应有限元方法进行了研究.本篇文章分为六个部分:第一章我们利用分片常数有限元和分片线性不连续有限元去近似控制,给出了仅仅适用于同一套网格的关于最优控制的自适应方法和后验误差估计.第二章我们给出了适用于多套网格的关于最优控制的等价的H~1的后验误差估计.虽然之前[46]曾经给出了关于逐点型控制受限的多套网格的后验误差估计,但是由于问题的限制和处理方法的要求,其中间的H~1范数需要增加一个量e来保证其后验估计的等价性.本章的创新点是给出的关于积分型的H~1范数的后验误差估计确实是等价的估计,其等价性并不需要其他的项来保证.第三章我们给出了适用于多套网格的关于最优控制的等价的L~2的后验误差估计.本章的创新点是这是关于控制问题等价的L~2范数后验估计.虽然本文处理的是积分型控制受限,但是所用方法可以推广到逐点型,乃至各种其他类型的控制问题.第四章我们利用非协调元处理积分型状态受限最优控制问题,并且给出了其先验和后验误差估计.本章的创新点是我们利用了一系列新的方法处理这个问题,并且得到了与之前都不同的估计子.第五章我们把积分型状态受限问题转化为一个积分型状态控制受限问题,给出了一系列的分析,得到了有限元的先验和后验误差估计。虽然之前也有人曾经利用这个方法处理过其他的状态受限最优控制问题,但是本章的创新点是我们是给出等价的后验误差估计的.第六章我们给出了抛物型最优控制问题的等价的后验误差估计子.本章的创新点是我们是给出抛物型最优控制问题的等价的后验误差估计子的文章,并且计算时我们可以得到对于控制问题随时间变化的网格变化.下面的几段分别介绍各章的主要内容。到目前为止,所有的关于控制受限的后验误差估计都是关于障碍型的K={u:u≥g),其中g是一个障碍。众所周知,对于受限最优控制问题,后验误差估计子的形式和推导时所用的方法很大程度上依赖于控制集K的选择。在这里我们给出了K={u:∫_Ωu≥0)的控制受限的后验误差估计。很显然对于上述的最优控制问题给出其后验误差估计是很有意义的.在第一章中我们将针对一个线性椭圆控制问题,给出其自适应有限元方法.在第二章中我们仍然处理线性的椭圆控制问题。这部分我们将给出受限问题的多套网格自适应有限元方法.我们给出等价的后验误差估计子,并用算例验证了我们的结论.由自适应有限元的理论([28,71]),自适应有限元的指数收敛性可以由自适应子的等价性得到。这是我们给出我们的自适应子代替经验型自适应子的原因.虽然H~1范数的后验误差估计的等价性(被称为H~1范数的等价的后验误差估计)对于很多椭圆最优控制问题,无论是障碍型的还是积分型的,都已经给出了,具体看[38,39,46],但是对于L~2范数的等价的后验误差估计即等价的L~2范数的近似误差,还没有给出证明,虽然在[46,62]中曾经给出了障碍型控制受限的L~2范数的误差估计的上界估计.虽然说采用已有的对偶方法可以给出L~2范数的上界估计,但是给出其下界估计好像并不是一个简单的问题.在很多工业应用中,有些时候人们关心的是控制和状态的平均值性质.在这种情形下,很自然要采用L~2范数的误差估计作为停止计算的准则.因此L~2的等价的误差估计子是相当有用的.此时L~2范数的误差估计子可以给出相对较少的加密.在第三章中我们将处理线性椭圆控制问题,我们将给出积分型控制受限的最优控制问题等价的L~2范数后验误差估计.我们得到的L~2范数的后验误差估计适用于控制和状态不同网格的情形.最后我们给出了算例验证了我们的误差估计子.对于状态受限最优控制问题,之前已经有很多文章曾经处理过了,例如[15,17,19,27,59,67,72,76].他们当中有很多人处理的是逐点状态受限问题,即K={y:y≥ψ)或者K={y,y≤ψ).例如在[15,17,19,27]中.在一定的假设条件之下,Casas在[17]中证明了对于逐点状态受限问题存在一个测度意义下的乘子.一般情况下,这个乘子是一组δ函数,或者是位置不确定的自由边界.因此其有限元分析是非常困难的.其收敛性和先验误差估计在[17,18,27,59,75,77]中曾给出,而后验误差估计则是最近在[34]和[45]中才有一些结果.对于解法,Bergounioux和Kunisch在[11]中利用augmented Lagrangian法求解状态控制受限的最优控制问题,而[12]中给出了primaldualstrategy方法求解这个问题.而在实际的工程应用中,大家有时更关心如何控制状态的平均或L~2范数.从而存在一些其他形式的状态受限如K={y:α≤∫_Ωy≤β},L~2范数受限K={y:∫_Ωy~2≤β}等.Barbu[7]和Lasiecka[51]仅仅考虑了∫_Ωg(y)≥0型问题的解的存在性.最近,W.B.Liu,D.P.Yang and L.Yuan,在[67,93]中,给出了椭圆最优控制问题积分型状态受限的有限元的先验和后验估计.到目前为止,大部分关于最优控制有限元的研究都是利用标准的有限元.在[59]中,W.B.Liu,W.Gong和N.N.Yan给出了关于逐点状态受限问题的一个新的处理方法:把状态受限最优控制问题转化为一个四阶变分不等式问题,然后用Morley元近似求解这个问题,并且给出了它的先验估计.但是现在仍然很难给出关于四阶变分不等式问题的非协调元的等价的后验误差估计.在第四章中,我们用非协调元近似积分型状态受限的椭圆最优控制问题.我们给出了关于Morley元的近似四阶变分不等式的先验和等价的后验误差估计.在这里我们利用了一系列的之前从没有人用过的新的投影和bubble函数.在第五章中,我们利用另一种方法处理积分状态受限最优控制问题.我们把状态受限转化为状态控制受限.对于这个新问题我们把其看作是一个奇异的控制受限最优控制问题.我们可以证明新问题收敛到原来的问题,并且用有限元离散这个问题,得到了先验和等价的后验误差估计.虽然说椭圆最优控制问题等价的后验误差估计已经被给出了,但是由[63]可知,抛物最优控制问题等价的后验误差估计仍然是open问题.当然也有一些文章曾经处理过这个问题如[54]和[69]曾经给出过后验误差估计子.但是上述文章都无法给出一个下界的证明.在第六章中,我们给出了抛物最优控制问题等价的后验误差估计子,并且我们用算例和证明验证了其等价性.本文的创新点是:1.本文用自适应有限元方法处理积分型控制受限最优控制问题,给出了适用于不同套网格的H~1范数和L~2范数后验误差估计,并分别给出了下界的证明.2.本文用两种方法处理积分型状态受限最优控制问题.其一是将原问题转化为四阶变分不等式问题,给出了基于Morley元的先验估计和等价的后验估计.其二是利用罚方法将状态受限转化为状态控制混合受限问题,给出了后验误差估计.3.本文用自适应有限元方法处理抛物型最优控制问题,给出了等价的后验误差估计.

论文目录

• 中文部分
• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 受限最优控制问题等价的后验误差估计
• §1.1 引言
• §1.2 最优控制问题和有限元近似
• §1.3 等价的后验误差估计
• §1.3.1 利用分片常数离散控制得到的上界估计
• §1.3.2 利用分片常数离散控制得到的下界估计
• §1.3.3 利用分片线性离散控制的上界和下界证明
• §1.4 数值实验
• 第二章 基于多套网格的受限最优控制问题的自适应有限元近似
• §2.1 引言
• §2.2 最优控制问题和有限元近似
• §2.3 等价的后验误差估计
• §2.4 数值实验
• 2后验误差估计'>第三章 受限最优控制问题等价的L²后验误差估计
• §3.1 引言
• §3.2 最优控制问题和有限元近似
• 2范数后验误差估计子'>§3.3 等价的L²范数后验误差估计子
• 2范数上界估计'>§3.3.1 L²范数上界估计
• 2范数下界估计'>§3.3.2 L²范数下界估计
• §3.4 数值实验
• 第四章 最优控制问题积分型状态受限的非协调有限元方法
• §4.1 引言
• §4.2 问题的模型和等价的变分不等式
• §4.2.1 最优控制问题
• §4.2.2 等价的四阶变分不等式问题
• §4.3 非协调元近似
• §4.4 先验估计
• §4.5 后验估计
• §4.5.1 预备知识
• §4.5.2 上界估计
• §4.5.3 下界估计
• §4.6 非协调元系统的算法
• §4.7 数值实验
• §4.7.1 先验误差估计的数值实验
• §4.7.2 后验误差估计的数值实验
• 第五章 积分状态受限的先验和后验估计
• §5.1 引言
• §5.2 状态受限最优控制问题
• §5.2.1 最优控制问题和最优性条件
• §5.2.2 最优控制问题的另一种处理方法
• §5.3 有限元近似
• §5.4 先验估计
• §5.5 后验估计
• §5.5.1 预备知识
• §5.5.2 上界估计
• §5.5.3 下界估计
• §5.6 数值实验
• 第六章 受限抛物最优控制问题自适应有限元分析
• §6.1 引言
• §6.2 最优控制问题和有限元近似
• §6.2.1 最优控制问题和最优性条件
• §6.2.2 有限元近似
• §6.3 等价的后验误差估计
• §6.3.1 后验误差估计子
• §6.3.2 上界估计
• §6.3.3 下界估计
• §6.4 数值实验
• 参考文献
• 致谢
• 攻读博士学位期间完成论文情况
• 作者简介
• 学位论文评阅及答辩情况表
• 英文部分
• Abstract（in English）
• Abstract（in Chinese）
• Chapter 1 A Equivalent Posteriori Error Estimates for A Constrained Optimal Control Problem
• §1.1 Introduction
• §1.2 Optimal control problem and its finite element approximation
• §1.3 Equivalent a posteriori error estimators
• §1.3.1 Upper bound estimate for piecewise constant with control
• §1.3.2 Lower bound estimate for piecewise constant with control
• §1.3.3 Upper and lower bound estimate for piecewise linear with control
• §1.4 Numerical Experiments
• Chapter 2 Adaptive Finite Element Approximation for A Constrained Optimal Control Problem Via Multi-meshes
• §2.1 Introduction
• §2.2 Optimal control problem and its finite element approximation
• §2.3 Equivalent a posteriori error estimators
• §2.4 Numerical Experiments
• 2 Norm Equivalent A Posteriori Error Estimate for A Constrained Optimal Control Problem'>Chapter 3 L² Norm Equivalent A Posteriori Error Estimate for A Constrained Optimal Control Problem
• §3.1 Introduction
• §3.2 Optimal control problem and its finite element approximation
• 2 norm equivalent a posteriori error estimators'>§3.3 L² norm equivalent a posteriori error estimators
• 2 norm'>§3.3.1 Upper bound estimate in L²norm
• 2 norm'>§3.3.2 Lower bound estimate in L²norm
• §3.4 Numerical Experiments
• Chapter 4 Nonconforming Finite Element Method of Optimal Control Problems with Integral Constraint for State
• §4.1 Introduction
• §4.2 Model problem and its equivalent variational inequality
• §4.2.1 Optimal control problem
• §4.2.2 Equivalent fourth order variational inequality problem
• §4.3 Nonconforming finite element approximation
• §4.4 A priori error estimate
• §4.5 A posteriori error estimate
• §4.5.1 Preliminaries
• §4.5.2 Estimation of upper bound
• §4.5.3 Estimation of lower bound
• §4.6 Algorithm of nonconforming finite element system
• §4.7 Numerical Experiments
• §4.7.1 Numerical experiment for a priori error estimate
• §4.7.2 Numerical experiment for a posteriori error estimators
• Chapter 5 A Priori error and A Posteriori Error Estimates for Optimal Control Problems with Integral State-Constraints
• §5.1 Introduction
• §5.2 The state constraint distributed control problem
• §5.2.1 Optimal control problem and optimality condition
• §5.2.2 Another formula for the optimal control problem
• §5.3 Finite element approximation
• §5.4 A priori error estimate
• §5.5 A posteriori error estimate
• §5.5.1 Preliminaries
• §5.5.2 Upper bound estimation
• §5.5.3 Lower bound estimation
• §5.6 Numerical Experiments
• Chapter 6 Adaptive Finite Element Approximation for A Constrained Optimal Control Problem Governed by Parabolic equations
• §6.1 Introduction
• §6.2 Optimal control problem and its finite element approximation
• §6.2.1 Optimal control problem and optimality condition
• §6.2.2 Finite element approximation
• §6.3 Equivalent a posteriori error estimates
• §6.3.1 A posteriori error estimators
• §6.3.2 Upper bound estimation
• §6.3.3 Lower bound estimation
• §6.4 Numerical experiments
• Bibliography
• Acknowledgement
• List of Publications
• Curriculum Vitae
• 学位论文评阅及答辩情况表