基于活动标架的圆纹面性质及应用研究

论文摘要

本文用微分几何学中活动标架方法研究了圆纹面的特征和性质,建立了圆纹面的Frenet活动标架,得到了圆纹面的运动不变量,并研究了圆纹面的各种退化情况以及空间机构约束圆纹曲面的性质。首先以圆纹面的中心曲线为准线,通过圆平面法矢以及其球面像曲线弧长建立中心曲线上的活动标架,以此得到圆纹面的矢量方程,利用微分几何中曲面上曲线的活动标架去研究圆母线的性质,得到了圆母线的三个不变量主曲率、测地曲率以及测地挠率满足的关系式。利用参数曲线,本文求得了圆纹面的第一、第二基本参数,并得到了定径正圆纹面的重要性质,即其圆母线为一条曲率线以及其Gauss曲率和平均曲率满足特定关系式。对于圆纹面的主方向和主曲率,本文给出了求解方法。接着,结合外微分形式和活动标架方法,以圆母线的切矢为标架的初始矢量建立了圆纹面的Frenet标架,并证明了该Frenet标架在圆纹面上的原点轨迹—脊线与直纹面的腰线有着相似的几何意义。利用Frenet标架,得到了圆纹面的运动不变量,给出了它们的几何意义,并以脊线为准线,给出了圆纹面的标准方程。最后,研究当圆纹面的中心曲线退化为圆、圆柱螺线,球面曲线以及为一点时各种退化圆纹面的性质,即其运动不变量的满足条件,并证明了其运动不变量的性质为其各退化情况的充分条件。当特定的空间机构的约束曲面为圆纹面时,文章给出了其脊线的求取以及Frenet标架建立过程,得到了空间机构约束圆纹曲面的运动不变量及其不变式,为空间机构的综合提供了理论基础。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 本文背景
• 1.2 文献综述
• 1.3 本文研究方法
• 1.4 本文主要工作
• 2 微分几何学基础
• 2.1 曲线的Frenet标架以及曲面的基本齐次式
• 2.1.1 曲线的Frenet标架及其不变量
• 2.1.2 曲面的基本齐次式与微分不变量
• 2.1.3 圆矢量函数
• 2.2 直纹面及空间机构中约束曲面的性质分析
• 2.2.1 直纹面的性质
• 2.2.2 空间机构中的直纹约束曲面特征
• 2.3 本章小结
• 3 圆纹面的特征及性质
• 3.1 圆纹面的特征及性质
• 3.1.1 圆纹面的特征及性质
• 3.1.2 定径圆纹曲面的基本齐次式及微分不变量
• 3.1.3 定径圆纹面的主方向
• 3.2 本章小结
• 4 圆纹面的Frenet标架
• 4.1 圆纹面标架的外微分形式
• 4.2 脊线的几何意义
• 4.3 圆纹面的Frenet标架
• 4.4 本章小结
• 5 特殊圆纹曲面的特征及性质
• 5.1 圆环面的特征以及性质
• 5.2 圆柱螺线圆纹面的特征以及性质
• 5.3 其他特殊圆纹面的特征以及性质
• 5.3.1 球面曲线圆纹面
• 5.3.2 球面
• 5.4 圆纹面的退化判定
• 5.5 本章小结
• 6. 空间机构中圆纹约束曲面的性质分析
• 6.1 CRS圆纹面及其性质
• 6.2 RRS圆纹面及其性质
• 6.3 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表学术论文情况
• 致谢